重点题型训练6-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册

人教A版（新教材）高二选择性必修第一册重点题型N6 第三章 圆锥曲线的方程 考试范围：3.2.1双曲线及其标准方程；3.2.2双曲线的简单几何性质考试时间：100分钟；命题人：LEOG 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型1、求双曲线的标准方程——定义法 1．平面内有两个定点F1（﹣5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（　　） A．﹣＝1（x≤﹣4） B．﹣＝1（x≤﹣3） C．﹣＝1（x≥4） D．﹣＝1（x≥3） 【考点】双曲线的定义；双曲线的标准方程．版权所有 【分析】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可． 【解答】解：由|PF1|﹣|PF2|＝6＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支， 得c＝5，2a＝6，∴a＝3，∴b2＝16， 故动点P的轨迹方程是﹣＝1（x≥3）．故选：D． 【点评】本题考查双曲线的定义、求双曲线的标准方程，体现了等价转化的数学思想． 2．一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【考点】双曲线的定义．版权所有 【分析】设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2＝1，⊙F：x2+y2﹣8x+12＝0都外切得|PF|＝2+r、|PO|＝1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决． 【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r， 而圆x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为1； 圆x2+y2﹣8x+12＝0的圆心为F（4，0），半径为2． 依题意得|PF|＝2+r|，|PO|＝1+r， 则|PF|﹣|PO|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|， 所以点P的轨迹是双曲线的一支． 故选：C． 【点评】本题主要考查双曲线的定义． 3．已知圆C：（x+3）2+y2＝4及点A（3，0），Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为　　． 【考点】双曲线的定义．版权所有 【分析】结合双曲线的定义，结合给的条件易知||MC|﹣|MA||＝2．即2a＝1，且2c＝6．c＝3，再求出b的值即可． 【解答】解：由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，得|MA|＝|MQ|，圆的半径为2． 所以||MC|﹣|MA||＝2＜|AC|＝6，故M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线． 所以由题意得2a＝2，2c＝6．所以a＝1，c＝3，b2＝c2﹣a2＝8． 焦点在x轴上，故所求方程为．故答案为 ． 【点评】本题考查了双曲线的定义法求双曲线的标准方程，要注意挖掘所给条件的几何性质进行分析． 4． 若将方程||＝6化简为的形式，则a2﹣b2＝　2　． 【考点】双曲线的定义；双曲线的性质．版权所有 【分析】方程||＝6，表示点（x，y）到（4，0），（﹣4，0）两点距离差的绝对值为6，由此可得双曲线的方程，从而可得结论． 【解答】解：方程||＝6，表示点（x，y）到（4，0），（﹣4，0）两点距离差的绝对值为6， ∴轨迹为以（4，0），（﹣4，0）为焦点的双曲线，方程为 ∴a2﹣b2＝2故答案为：2 【点评】本题考查双曲线的定义与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 5．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为　　． 【考点】椭圆的性质；双曲线的标准方程；双曲线的性质．版权所有 【分析】求出椭圆的焦点，设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），由题意可得c＝2，运用a，b，c的关系和离心率公式，解方程可得a，b，进而得到双曲线的标准方程． 【解答】解：椭圆的焦点为（﹣2，0）和（2，0），可设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），由题意可得c＝2，即a2+b2＝4，又e＝＝，解得a＝，b＝， 则双曲线的标准方程为．故答案是：． 【点评】本题考查圆锥曲线的方程和性质，主要是抛物线的准线方程和双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题． 6．求下列双曲线的标准方程． （1）与双曲线﹣＝1有公共焦点，且过点（3，2）的双曲线； （2）以椭圆3x2+13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±为渐近线的双曲线． 【考点】双曲线的标准方程．版权所有 【分析】（1）求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为＝1（20﹣a2＞0），将点（3，2）代入双曲线方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程． （2）利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标，设﹣＝1（a＞0，b＞0），根据双曲线的渐近线为y＝±x求出a2，可得答案． 【解答】解：（1）∵双曲线﹣＝1的焦点为（±2，0）， ∴