第01讲 反比例函数的定义及性质-2021-2022学年九年级数学下册同步精品随堂讲义+练习+检测(人教版)

第01讲 反比例函数的定义及性质 【学习目标】 1.理解反比例函数的定义 2.熟练掌握反比例函数，并且会用待定系数法求函数解析式 3.理解反比例函数的性质、及比例系数k的几何意义 4.经历探索反比例函数的过程，体会其实用价值 【知识导图】 【复习预习】 1．前面我们学习了一次函数和二次函数，二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【知识讲解】 1、反比例函数的定义 一般地，形如y=(k为常数，k0)的函数，叫反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是 不等于0的一切实数，y的取值范围也是不等于0的一切实数，k叫比例系数.另外，反比例函数的关系式也可以写成 (k0)的形式. y是x的反比例函数y=(k0)xy=k（k0）变量y与x成反比例，比例系数为k. 知识拓展： （1）反比例函数y=(k0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式，也就是说，分母不能是多项 式，只能是x的一次单项式，如y=,y=等都是反比例函数，但中y就不是x的反比例函数. （2）反比例函数可以理解为两个变量的积是一个不为0的常数，因此可以写成y=kx或xy=k(k0)的形式. （3）在反比例函数中，两个变量成反比例关系. 新课导读点拨：y=,这个函数是反比例函数，自变量取值不能为0. 2、用待定系数法确定反比例函数的解析式 由于反比例函数y=(k0)中只有一个待定系数，因此只要有一对对应的x，y值，或已知图像上一点坐标，即可求出 k, 从而确定反比例函数的表达式.其一般步骤： （1）设反比例函数关系式为y=(k0). （2）把已知条件（自变量和函数的对应值或函数图像上一点的坐标）代入关系式，得出关于k的方程. （3）解方程，求出待定系数k得值. （4）将待定系数k得值代回所设的关系式，即得出所求的反比例函数关系式. 3、反比例函数y=(k0)的性质 （1）反比例函数的图像是双曲线，反比例函数y= (k0)的图像是由两支曲线组成的.当k>0时，两支曲线位于第一，三象限内；当k<0时，两支曲线位于第二，四象限内.他们关于原点对称，即图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. （2）由反比例函数y=(k0)的图像可知: 当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大. （3）因为x0,所以图像与y轴不可能有交点，不论x取何值，y的值永不为0，同理，图像与x轴也不可能有交点. 知识拓展：（1）反比例函数图像的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的. 反过来，由双曲线所在的位置或函数的增减性也可以判断出k的符号. （2）反比例函数的增减性必须强调在每一象限内： 当k>0时，在每一象限内（第一，三象限内），y随x的增大而减小. 当k<0时，在每一象限内（第二，四象限内），y随x的增大而增大， 也不能笼统地说：当k<0时，y随x的增大而增大. 4、反比例函数表达式中K的几何意义 过双曲线y=(k0)上的任意一点P(x,y)作x轴，y轴的垂线PM，PN.垂足分别为M、N,所得矩形PMON的面积S==. 因为y=,所以xy=k,所以S=. 即过双曲线上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为. 【例题精析】 类型一 反比例函数的定义 例1：已知函数y=（m2﹣1），当m=　　时，它的图象是双曲线． 变式1：下列式子中，表示是的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 变式2：若y=（5+m）x2+n是反比例函数，则m、n的取值是__________． 类型二 反比例函数y=(k0)的图像与性质 例2：若双曲线y=过两点（﹣1，y1），（﹣3，y2），则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．y1与y2大小无法确定 例3：在同一直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=的图象可能是（　　） A． B． C． D． 变式1：已知反比例函数y=-，则下列有关该函数的说法正确的是 A．该函数的图象经过点（2，2） B．该函数的图象位于第一、三象限 C．当x>0时，y的值随x的增大而增大 D．当x>-1时，y>4 变式2：已知反比例函数y=-，下列结论：①图象必经过（-2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x>-1时，则y>8