学业评价（八）指数函数与对数函数的关系-2021-2022学年高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】人教B版（课后案）

eq \a\vs4\al() 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于 A．log2x　　　 B．x　 　　D．2x－2　　 　C．log 解析　依题意y＝ax过点(1，2)， ∴a＝2，即f(x)＝log2x，故选A. 答案　A 2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝－loga x的图像是图中的 解析　∵y＝x＝－logax.的反函数为y＝log 又a＞1，故它们的图像关于y＝x对称且都是减函数， 故选D. 答案　D 3．若函数y＝f(x)的反函数为f -1(x)＝ln ＋1，则f(2)的值等于 A．1 B．e C．1＋ln D．e2 解析　∵f -1(e2)＝ln ＋1＝2，∴f(2)＝e2，故选D. 答案　D 4．已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lg x(x＞0)，则f(1)＋g(1)＝________． 解析　∵y＝g(x)＝1＋2lg x(x＞0)， ∴lg x＝ (y－1)， (y－1)，x＝10 ∴y＝g(x)的反函数为y＝f(x)＝10 (x－1)， ∴f(1)＋g(1)＝100＋(1＋2lg 1)＝2. 答案　2 5．已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，则a的值为________，b的值为________． 解析　由y＝ax＋2对调x和y，解得y＝， x－ 依题意得.即 答案　　－6 6．(1)求函数y＝log2(x2－5x＋6)的单调区间； (2)已知loga(2a＋1)<loga(3a)<0(a>0且a≠1)，求a的取值范围． 解析　(1)设u＝x2－5x＋6， 由x2－5x＋6>0，得x>3或x<2， ∴函数的定义域为(－∞，2)∪(3，＋∞). 又y＝log2u在其定义域内为增函数， 且u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上为减函数， 在(3，＋∞)上为增函数， ∴函数y＝log2(x2－5x＋6)在(－∞，2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数． 即函数的单调减区间为(－∞，2)，单调增区间为(3，＋∞). (2)当a>1时，原不等式可化为 解得∴此时a无解； 当0<a<1时，原不等式可化为 解得<a<1.∴ 综上，a的取值范围为. 7．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是 解析　由于f(x)是函数y＝log2x的反函数， 故f(x)＝2x，∴y＝f(1－x)＝21－x， 当x＝0时，y＝2，故选C. 答案　C 8．(多选题)设函数f(x)的定义域为D，若对任意x∈D，存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是 A．y＝x2 B．y＝ C．f(x)＝ln (2x＋3) D．y＝2x＋3 解析　因为若对任意x∈D，存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，所以只需f(x)的值域关于原点对称． A中函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合； B中函数y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合； C中函数f(x)＝ln (2x＋3)的值域为R，关于原点对称，符合； D中函数y＝2x＋3的值域为R，关于原点对称，符合． 答案　BCD 9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝，f -1(x)是f(x)的反函数，那么f -1(－9)的值为________． 解析　当x>0时，－x<0， f(－x)＝＝3x， ∴当x>0时，f(x)＝－3x， 由－3x＝－9得3x＝9，∴x＝2， ∴f -1(－9)＝2. 答案　2 10．已知函数f(x)＝的图像与函数g(x)的图像关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于h(x)有下列命题： ①h(x)的图像关于原点对称； ②h(x)为偶函数； ③h(x)的最小值为0. 其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的命题的序号都填上) 解析　g(x)＝logx， ∴h(x)＝log(1－|x|)(－1＜x＜1)， ∴h(x)是偶函数，②正确，①错误． ∵0＜1－|x|≤1，∴h(x)min≥0， 故③正确． 答案　②③ 11．已知函数f(x)＝loga(2－x)，(a＞1). (1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)求函数f(x)的反函数f -1(x)； (3)判断f -1(x)的单调性． 解析　(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0， 即x＜2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R. (2)由y＝loga(2－x)对调x和y得，2－y＝ax， 即y＝2－ax. ∴f -1(x)＝2－ax(x∈R