学业评价（九）幂函数-2021-2022学年高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】人教B版（课后案）

eq \a\vs4\al() 1．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是 A．y＝x　　 B．y＝x2　　 C．y＝x3　　 D．y＝x 解析　函数y＝x在各自定义域上均是增函数，y＝x2在(－∞，0)上是减函数．，y＝x3，y＝x 答案　B 2．设a＝，则，c＝，b＝ A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析　构造幂函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，知a＜c，故b＜a＜c.(x∈R)，由该函数在定义域内单调递增，知b＜a；构造指数函数y＝ 答案　D 3．如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图像，则下列结论中正确的是 A．－1＜n＜0，0＜m＜1 B．n＜－1，0＜m＜1 C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1 解析　由题图知，y＝xm在[0，＋∞)上是增函数，y＝xn在(0，＋∞)上为减函数，所以m＞0，n＜0.又当x＞1时，y＝xm的图像在y＝x的图像的下方，y＝xn的图像在y＝x－1的图像的下方，所以m＜1，n＜－1，从而得0＜m＜1，n＜－1.故只有B正确． 答案　B 4．函数y＝x－的定义域是________，值域是________． 解析　y＝x的定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞).＝ 答案　(0，＋∞)　(0，＋∞) 5．幂函数f(x)＝xα的图像过点(3，9)，那么函数f(x)的单调增区间是________． 解析　由题意得9＝3α， 所以32＝3α，∴α＝2，所以f(x)＝x2. 所以二次函数f(x)＝x2的单调增区间是[0，＋∞). 答案　[0，＋∞) 6．若点A(在幂函数g(x)的图像上， ，2)在幂函数f(x)的图像上，B (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)求当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x). 解析　(1)设f(x)＝xa，因为点(，所以b＝－2，即g(x)＝x－2.在幂函数g(x)的图像上，所以(－2)b＝)a＝2，所以a＝2，即f(x)＝x2.设g(x)＝xb，因为点B，2)在幂函数f(x)的图像上，所以( (2)令f(x)＝g(x)，解得x＝±1. 在同一坐标系下画出函数f(x)和g(x)的图像，如图：由图像可知，f(x)，g(x)的图像均过点(1，1)和(－1，1). 所以①当x>1或x<－1时， f(x)>g(x)； ②x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x). 7．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x) A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减 解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且f(－x)＝(－x)3－＝－f(x)， ＝－x3＋ 所以f(x)是奇函数． 又因为y＝x3在(0，＋∞)单调递增， 所以y＝－在(0，＋∞)也单调递增， 所以f(x)在(0，＋∞)单调递增． 答案　A 8．(多选题)已知幂函数f(x)＝x(m，n∈N＋，m，n互质)，下列关于f(x)的结论正确的是 A．m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，幂函数f(x)是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)是偶函数 D．0＜＜1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 解析　f(x)＝x＜1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故D中的结论错误．，当m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数，幂函数f(x)是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)在x＜0时无意义，故C中的结论错误；0＜＝ 答案　AB 9．若函数是幂函数，且是偶函数，则m＝________． 解析　由题意，知m2－m－1＝1， 解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－1＝－1， 函数为y＝x－1，不是偶函数； 当m＝－1时，m2－2m－1＝2， 函数为y＝x2，是偶函数，满足题意． 答案　－1 10．若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________． 解析　当a＞1时，有a2＝4，a－1＝m， 此时a＝2，m＝为减函数，不合题意．，此时g(x)＝－ 若0＜a＜1，则a－1＝4，a2＝m， 故a＝，检验知符合题意．，m＝ 答案　 11．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数． (1)求函数f(x)； (2)讨论F(x)＝a