2.14 导数与函数零点-【导与练】2022高考文科数学一轮总复习课件（北师大版）

第14节　导数与函数零点 文数 [专题概述] 利用导数研究函数的零点,一般出现在解答题的一问,占6分左右,难度较大,一般是把两个函数图像的交点问题转化为一个新的函数的零点问题,或把一个函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题,主要体现了转化与化归思想、数形结合思想. 文数 提升关键能力 考点一　判断或证明函数零点个数(综合性) [例1] (2020·河南名校联盟质检)已知函数f(x)=sin 2x-|ln(1+x)|,g(x)= sin 2x-x. 文数 (2)求证:f(x)有且仅有2个零点. 证明:(2)f(x)的定义域为(-1,+∞). ①当x∈(-1,0)时,sin 2x<0,ln(1+x)<0, 所以f(x)=sin 2x+ln(1+x)<0, 从而f(x)在(-1,0)上无零点. ②当x=0时,f(x)=0,从而x=0是f(x)的一个零点. 文数 文数 (1)若x1为f(x)的极值点,且f(x1)=f(x2)(x1≠x2),求2x1+x2的值; 文数 (2)求证:当m>0时,f(x)有唯一的零点. 文数 反思归纳 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求,g′(x)=0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点函数值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图像草图,结合图形,利用零点存在定理求解函数零点的个数. 文数 考点二　根据函数的零点求参数取值(范围)(综合性) [例2] (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2), (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; 解:(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2, 则f′(x)=ex-1. 当x<0时,f′(x)<0;当x>0时,f′(x)>0. 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 文数 (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 文数 文数 文数 文数 反思归纳 根据函数零点或函数图像交点情况,确定参数的取值(范围)问题的核心思想是“数形结合”,一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图像,建立含参数的方程(或不等式)组求解. 文数 考点三　函数零点的综合问题(综合性) (1)若a=1,求函数f(x)的单调区间; 文数 (2)若函数f(x)为增函数,且f(x)的图像与直线y=bx有3个交点,求b的取值 范围. 文数 [对点训练3] (2019·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x,f′(x)为f(x)的导数. (1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点; 文数 (2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围. (2)解:由题设知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0. 由(1)知,f′(x)在(0,π)上只有一个零点, 设为x0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)>0; 当x∈(x0,π)时,f′(x)<0, 所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减. 又f(0)=0,f(π)=0,所以当x∈[0,π]时,f(x)≥0. 又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax. 因此,a的取值范围是(-∞,0]. 文数 备选例题 [例1] (2020·合肥第二次质检)已知函数f(x)=exsin x(e是自然对数的 底数). (1)求f(x)的单调递减区间; 文数 文数 文数 (1)当a=-1时,求函数f(x)的极值; 文数 (2)若函数F(x)=f(x)+1没有零点,求实数a的取值范围. 文数 文数 [例3] 已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数f(x)的解析式; 解:(1)因为f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}, 所以设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0, 所以f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1. 故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. 文数 文数 点击进入 课时作业 点击进入 阶段检测试题 文数 证明:(1)g(x)=sin 2x-x,g′(x)=2cos 2x-1.当x∈(0,)时,g′(x)>0; 当x∈(,)时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减. 而g(0)=0,g()=1->0,所以当x∈(0,]时,g(x)>0, 所以g(x)在区间(0,]上无零点. (1)求证:g(x)在区间(0,]上无零点; ③当x∈(0,]时,由(1)知g(x)>0, 所以sin 2x>x,又x≥ln(1+x)>0, 所以f