2.12 导数与函数的极值、最值-【导与练】2022高考文科数学一轮总复习课件（北师大版）

第12节　导数与函数的极值、最值 文数 [考纲展示] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 2.会利用导数解决实际问题. 文数 积累必备知识 提升关键能力 培育学科素养 文数 积累必备知识 知识梳理 1.函数的极值 (1)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的 ,其函数值f(x0)为函数的 . (2)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的 ,其函数值f(x0)为函数的 . 极大值与极小值统称为 ,极大值点与极小值点统称为 . 极大值点 极大值 极小值点 极小值 极值 极值点 文数 2.函数极值的判断方法 (1)如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是增加的,在区间(x0,b)上是减少的,则x0是极大值点,f(x0)是极大值. (2)如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是减少的,在区间(x0,b)上是增加的,则x0是极小值点,f(x0)是极小值. 3.函数的最值与导数的关系 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的 ; 连续不断 极值 文数 ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中 的一个是最大值, 的一个是最小值. 4.生活中的优化问题 导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中,解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系),再利用导数研究其单调性和最值,解题过程中要时刻注意实际问题的意义. 最大 最小 文数 重要结论 (1)若函数f(x)的图像连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最值. (2)若函数f(x)在[a,b]上是单调的,则f(x)一定在区间端点处取得最值. (3)若连续函数f(x)在(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. (4)若函数f(x)有多个极值点,则极大值点和极小值点是交替出现的. (5)极值点是函数单调增区间与单调减区间的分界点. (6)三次函数有两个极值点的充要条件是其导函数有两个零点. (7)奇(偶)函数在x=x0处取得极大值或最大值f(x0),则在x=-x0处取得极小(大)值或最小(大)值-f(x0)(f(x0)). (8)极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数. 文数 基础自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　) (2)函数的极大值不一定比极小值大.(　　) (3)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.(　　) (4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.(　　) (5)函数相邻两个极值点之间函数单调.(　　) 解析:(1)函数在某区间上或定义域内极大值个数不确定,(1)错;(3)x0点为f(x)极值点的充要条件是f′(x)=0,且x0两侧导函数值异号.f′(x0)=0是x0点为极值点的必要不充分条件,(3)错. 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 文数 A 2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(　 　) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 解析:导函数f′(x)的图像与x轴的交点中,左侧图像在x轴下方,右侧图像在x轴上方的只有一个,所以f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点.故选A. 文数 3.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为(　 　) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 B 文数 4.函数f(x)=2x-xln x的极值是(　 　) C 解析:因为f′(x)=2-(ln x+1)=1-ln x, 令f′(x)=0,得x=e,当f′(x)>0时,解得0<x<e; 当f′(x)<0时,解得x>e. 所以x=e时,f(x)取到极大值,f(x)极大值=f(e)=e. 故选C. 文数 5