2.3 函数的奇偶性与周期性-【导与练】2022高考文科数学一轮总复习课件（北师大版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 文数 [考纲展示] 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性. 文数 积累必备知识 提升关键能力 培育学科素养 文数 积累必备知识 知识梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是奇函数 关于 对称 f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 文数 2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: ①T≠0; ②f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫作它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x). 最小的正数 最小的正数 文数 重要结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: ①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). 文数 ④若f(x)图像关于直线x=a与x=b对称,则T=2|b-a|. ⑤若f(x)图像关于点(a,0)与(b,0)对称,则T=2|b-a|. ⑥若f(x)图像关于点(a,0)对称,且关于直线x=b对称,则T=4|b-a|. (4)函数图像对称性的三个结论 ①若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称. 文数 ②若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对称. ③若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称. (5)奇偶函数的运算性质 在公共定义域内,奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇,奇÷奇=偶,偶÷偶=偶,奇÷偶=奇,偶÷奇=奇. 文数 基础自测 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 解析:(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性, (1)错. (2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,(2)错. (3)由周期函数的定义,(3)正确. (4)由于y=f(x+b)的图像关于(0,0)对称,根据图像平移变换,知y=f(x)的图像关于(b,0)对称,正确. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.(　　) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.(　　) (3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(　　) (4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称.(　　) 文数 解析:由奇偶函数定义易知选D. 2.下列函数为偶函数的是(　 　) (A)f(x)=x-1 (B)f(x)=x2+x (C)f(x)=2x-2-x (D)f(x)=2x+2-x D 文数 C 文数 4.(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时, f(x)等于(　 　) (A)e-x-1 (B)e-x+1 (C)-e-x-1 (D)-e-x+1 D 解析:因为f(x)是奇函数, 所以当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x), 得f(x)=-e-x+1.故选D. 文数 文数 提升关键能力 考点一　函数的奇偶性(基础性) 题组过关 文数 文数 解析:依题意得对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此,f(-x) g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)·g(x)],f(x)g(x)是奇函数,A错;|f(-x)|· g(-x)=|-f(x)|·g(x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B错;f(-x) |g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-[f(