13 第四章 图形的相似 追梦阶段测试卷（二）-【追梦之旅·铺路卷】2021-2022学年九年级全一册数学（北师大版）

AC A′C′ = AB A′B′ ,∴ CD C′D′ = AC A′C′ = AD A′D′ ,∴ △ADC∽△A′D′C′,∴ ∠A= ∠A′. 又∵ AC A′C′ = AB A′B′ ,∴ △ABC∽△A′B′C′. 19. 解:∵ PQ∥BC,∴ PA BC = AM MB , AQ BC = AN NC ,∴ MN∥BC,∴ AN AC = AM AB = MN BC = 1 3 ,∴ AM BM = 1 2 ,∴ AP BC = AM BM = 1 2 ,AP = 1 2 BC = 3 2 . ∵ AP=AQ,∴ PQ= 3. 20. 解:①若△POQ∽△AOB 时, OQ OB = OP OA ,即 6-t 6 = t 12 ,整理得 12 -2t= t,解得 t = 4. ②若△POQ∽△BOA 时, OQ OA = OP OB ,即 6-t 12 = t 6 ,整理得 6-t= 2t,解得 t= 2. ∵ 0≤t≤6,∴ t = 4 和 t= 2 均符合题意,∴ 当 t = 4 或 t = 2 时,△POQ 与△AOB 相似. 21. (1)证明:∵ 菱形 AEFG∽菱形 ABCD,∴ ∠EAG = ∠BAD,∴ ∠EAG+∠GAB= ∠BAD+∠GAB,∴ ∠EAB = ∠GAD. ∵ AE =AG,AB=AD,∴ △AEB≌△AGD,∴ EB=GD. (2)解:连接 BD 交 AC 于点 P,则 BP⊥AC. ∵ ∠DAB= 60°,∴ ∠PAB= 30°. ∵ 菱形 AEFG∽菱形 ABCD,相似比是 3 ∶2, AB= 2,∴ AE = 3 ,BP = 1 2 AB = 1,∴ AP = AB2 -BP2 = 3 ,∴ EP= 2 3 ,∴ EB= EP2 +BP2 = 12+1 = 13 . ∵ EB=GD,∴ GD= 13 . 22. 解:有两种情况:第一种情况:F 在线段 AD 上,过点 F 作 FH ∥DC,交 AC 于点 H. ∵ AF = 2FD,∴ AF FD = AH HC = 2,且 AF AD = FH DC = 2 3 ,∴ AH= 2HC,FH = 2 3 CD. ∵ E 是 AB 的中点,∴ AE= 1 2 AB = 1 2 CD. 又∵ 平行四边形 ABCD,AB∥CD 且 AB=CD,∴ FH∥AB,∴ AG GH = AE FH ,∴ AG GH = 3 4 ,∴ GH = 4 3 AG,∴ AH=AG+GH = 7 3 AG = 2HC,∴ AG = 6 7 HC. ∵ AC = AH+HC= 3HC,∴ AG ∶AC= 2 7 ;第二种情况:F 在 AD 的延 长线上,过点 F 作 FH∥DC,交 AC 的延长线于点 H. ∵ AF = 2FD,∴ AD DF = AC CH = 1 1 ,且 AD AF =CD FH = 1 2 ,∴ AC=CH,FH = 2CD. ∵ AE = 1 2 AB = 1 2 CD. 又∵ FH∥AB,∴ AG GH = AE FH = 1 2 CD 2CD = 1 4 ,∴ GH = 4AG,∴ AH = AG+GH = 5AG = 2AC,∴ AG= 2 5 AC,∴ AG ∶AC= 2 5 . 23. 探究　 证明:过点 F 作 GH∥AD,交 AB 于点 H,交 DC 的延长 线于点 G. ∵ AH∥EF∥DG,AD∥GH,∴ 四边形 AHFE 和四边形 DEFG 都是平行四边形,∴ FH = AE,FG = DE. ∵ AE = DE,∴ FG=FH. ∵ AB∥DG,∴ ∠G = ∠FHB,∠GCF = ∠B,∴ △CFG ≌△BFH,∴ FC=FB. 知识应用　 解:过点 C 作 CM⊥x 轴于点 M,过点 A 作 AN⊥x 轴于点 N,过点 B 作 BP⊥x 轴于点 P,则点 P 的坐标为( x2 , 0),点 N 的坐标为(x1 ,0),由探究的结论可知MN=MP,∴ 点 M 的坐标为( x1 +x2 2 ,0),∴ 点 C 的横坐标为 x1 +x2 2 ,同理可求 点 C 的纵坐标为 y1 +y2 2 ,∴ 点 C 的坐标为( x1 +x2 2 , y1 +y2 2 ) . 知识拓展　 解:①当 AB 是平行四边形一条边,且点 C 在 x 轴 的正半轴时,AD 与 BC 互相平分,设点 C 的坐标为(a,0),点 D 的坐标为(0,b),由上面的结论可知-6+a= 4+0,-1+0 = 5+ b,∴ a= 10,b= -6,∴ 此时点 C 的坐标为(10,0),点 D 的坐标 为(0,-6);②同理,当 AB 是平行四边形一条边,且点 C 在 x 轴的负半轴时,求得点 C 的坐标为( -10,0),点 D 的