第4.3.2讲 等比数列的前n项和公式-2021-2022学年高二数学链接教材精准变式练（人教A版2019选择性必修第二册）

第4.3.2讲 等比数列的前n项和公式 教材知识链接 1.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 2.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak， ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 考点一 等比数列的前n项和及其最值 【典例1-1】等比数列中，，，则数列的前6项和为（ ） A．21 B． C． D．11 【答案】A 【详解】 因为，故，故， 所以，故前6项和为. 故选：A. 【典例1-2】等比数列中，，，则数列的前6项和为（ ） A．21 B． C． D．11 【答案】A 【详解】 设等比数列的公比为， 因为，所以，即， 所以，故前6项和为. 故选：A. 【跟踪训练1-1】已知等比数列的公比为2，前4项的和是3，则前8项的和为（ ） A．48 B．51 C．54 D．57 【跟踪训练1-2】已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A．81 B． C．121 D． 【跟踪训练1-3】已知是由正数组成的等比数列，为其前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 考点二　等比数列的综合运用 【典例2-1】设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－3，则Sn＝（ ） A．2n＋1 B．2n＋1－1 C．3×2n－3 D．3×2n－1 【答案】C 【详解】 ∵Sn＝2an－3，∴a1＝2a1－3，∴a1＝3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－3－(2an－1－3)＝2an－2an－1 ∴an＝2an－1，即 ∴{an}是等比数列，首项为3，公比为2. ∴an＝3×2n－1.∴Sn＝3×2n－3. 故选：C 【典例2-2】等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 当公比时，可得，代入，与矛盾，所以；由等比数列的前项和公式 ，可得， 两式相除，得，可解得， 当时，代入原式可求得，则由等比数列的通项公式. 故选：B 【跟踪训练2-1】在等比数列中，是数列的前n项和．若，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪训练2-2】《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪训练2-3】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．首项为1，公比为2的等比数列的前6项和为（ ） A．62 B．63 C．66 D．68 2．已知等比数列中，若，，则等于（ ） A． B． C． D． 3．等比数列的前项和为，若，，则公比的值为（ ） A． B．1 C．或1 D．或1 4．在等比数列中，若，，则=（ ） A． B． C． D． 5．若递增的等比数列的前n项和为，，则等于（ ） A．63 B．64 C．65 D．66 6．在等比数列中，公比为，前6项的和为，则（ ） A． B． C． D． 7．记等比数列的前项和为，若，，则公比 （ ） A． B． C． D．或2 8．若正项等比数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ） A． B． C． D． 10．已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，则，，成等比数列 三、解答题 11．在各项均为正