专题01 角平分线的五种模型（讲+练）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

专题01 角平分线的五种模型 模型一、角平分线垂两边 例1.如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　） A．3：2 B．6：4 C．2：3 D．不能确定 【答案】A 【详解】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，又AB：AC=3：2， ∴S△ABD：S△ACD=（AB•DE）：（AC•DF）=AB：AC=3：2．故选A． 例2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PCOA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 ___． 【答案】2 【详解】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E， ∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵PCOA，∴∠CPO＝∠POD， 又∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠CPO＝∠BOP＝15°，又∠ECP为△OCP的外角，∴∠ECP＝∠COP＋∠CPO＝30°， 在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4，∴PE＝PC＝2，则PD＝PE＝2．故答案为：2． 【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB =90°，ACBC，AC =BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则的值是___________. 【答案】 【详解】解：如图，作FGAB于点G，∠DAB-90°，FG/AD， = ACBC，∠ACB =90° 又BF平分∠ABC，FG =FC 在Rt△BGF和Rt△BCF中 △BGF≌△BCF（HL），BC =BG AC =BC，∠CBA =45°，AB =BC 【变式训练2】如图，BD平分ABC的外角∠ABP，DA=DC，DE⊥BP于点E，若AB=5，BC=3，求BE的长． 【答案】1 【详解】解：过点D作BA的垂线交AB于点H， ∵BD平分△ABC的外角∠ABP，DH⊥AB，∴DE＝DH， 在Rt△DEB和Rt△DHB中，，∴Rt△DEB≌Rt△DHB（HL），∴BE＝BH， 在Rt△DEC和Rt△DHA中，，∴Rt△DEC≌Rt△DHA（HL），∴AH＝CE， 由图易知：AH＝AB−BH，CE＝BE＋BC，∴AB−BH＝BE＋BC，∴BE＋BH＝AB−BC＝5−3＝2， 而BE＝BH，∴2BE＝2，故BE＝1． 【变式训练3】如图，在中，，，、的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为 . 【答案】 【解析】延长FE交AB于点D，作于点G，作于点H，如图所示： 四边形BDEG是矩形， 平分，CE平分，四边形BDEG是正方形，在和中， ， 同理可得， 设，则， ， ，解得，， ，即，解得，. 模型二、角平分线垂中间 例．如图，已知，是的平分线，且交的延长线于点E． 求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，延长与的延长线相交于点F， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵是的平分线，∴． 在和中，， ∴， ∴，∴， ∴． 【变式训练1】如图，已知△ABC，∠BAC＝45°，在△ABC的高BD上取点E，使AE＝BC． （1）求证：CD＝DE； （2）试判断AE与BC的位置关系？请说明理由； 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴， 在和中，∵ ∴，∴CD＝DE； （2），理由如下：如图，延长AE，交BC于点F， 由（1）得， ∵，∴，∴，即； 【变式训练2】如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AECE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为________ 【答案】3 【解答】解：如图，延长CE，AB交于点F. AE平分∠BAC，AEEC，∠FAE =∠CAE，∠AEF =∠AEC =90° 在△AFE和△ACE中，，△AFE ≌ACE（ASA），AF =AC =16，EF =EC，BF =6 又D是BC的中点，BD =CD，DE是△CBF的中位线，DE =BF=3，故答案为：3. 【变式训练3】如图，在中，是的平分线，于点,//交于点，求证:. 【答案】见解析 【解答】证明：延长交于点.平分, . 又≌,. 又∥,. 模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形 例.如图所示，在△ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =CE时，EP+BP =________. 【答案】12 【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于点M. E、F分别是AB、AC的中点，EF//BC，∠CBM =