勾股定理7大模型专项训练（35题）-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)

勾股定理7大模型专项训练（35题） 一．模型1：直角三角形中的锐角平分线模型（共5小题） 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝　3　． 【分析】设EB′＝x，根据勾股定理求出AC的长，根据翻折变换的性质用x表示出EC、EB′、CB′，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：设EB′＝x， ∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝＝10， 由折叠的性质可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6， 则CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x， 由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴EB′＝3． 故答案为：3． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，则点D到AB边的距离为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【分析】作DE⊥AB于E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【解答】解：作DE⊥AB于E， ∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， 故选：D． 3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（　　） A．7 B．8 C．4 D．4 【分析】根据勾股定理求出DE，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠CAD＝∠ADE，得出AE＝DE＝5，进而求出AC，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，CD＝4， 由勾股定理得：DE＝＝＝5， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ADE， ∴AE＝DE＝5， ∴AC＝AE+EC＝8， ∴AD＝＝＝4， 故选：D． 4．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿过点A的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能求出BD的长吗？请写出求解过程． 【分析】由勾股定理的逆定理可得∠C＝90°，由折叠可得CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90°，再根据勾股定理可求BD的长． 【解答】解：能 ∵BC2+AC2＝225，AB2＝225 ∴AB2＝BC2+AC2． ∴∠C＝90° ∵折叠 ∴CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90° ∴BE＝AB﹣AE＝6cm 在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2． ∴BD2＝（12﹣BD）2+36 ∴BD＝ 5．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（　　）°（点A，B，P是网格交点）． A．30 B．45 C．60 D．75 【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD， 则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10， ∴PD2+DB2＝PB2， ∴∠PDB＝90°， ∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°， 故选：B． 二．模型2：风吹荷花模型（共4小题） 6．一根新生的芦苇高出水面1尺，一阵风吹过，芦苇被吹倒一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为5尺，则水池的深度和芦苇的长度各是 　12，13　尺． 【分析】仔细分析题意得出：此题中水深、芦苇长及芦苇移动的水平距离构成一直角三角形，解此直角三角形即可． 【解答】解：若高水池深度为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12尺， 即水池深度为12尺，则芦苇长度为13尺． 7．有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？ 【分析】关键是水深、荷花径移动的水平距离及荷花径的长度构成一直角三角形，解此直角三角形即可． 【解答】解：设水深x尺，那么荷花径的长为（x+1）尺， 由勾股定理得：x2+32＝（x+1）2． 解得：x＝4． 答：水池的水深有4尺． 8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（　　） A．1m B．2m C．3m D．m 【分析】由图可看出，三角形OAB为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求另两边． 【解答】解：在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1m， 则OA＝m． 故选：D． 9．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地