课时分层作业11 用空间向量研究夹角-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(十一) (建议用时：45分钟) 1．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30° B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角 C．二面角的大小范围是[0，π] D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小 ABD　解析：当直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为150°时，直线l与平面α所成的角为60°，A不正确；向量夹角的范围是[0°，180°]，而异面直线夹角为(0°，90°]，B不正确；二面角的范围是[0°，180°]，C正确；二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，D不正确． 2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　) A．0 B． C．－ D． A　解析：建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2，0,0)，C(0,2,0)， 所以＝(－2,2,0)．＝(－2，－2,3)， 所以cos〈＝0．〉＝， 3．在平面直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角后，则AB的长度是 (　　) A． B．2 C．3 D．4 B　解析：如图所示，|．|＝2＝9＋4＋25＋2×3×2×cos 60°＝44，故|·＋2·＋2·|2＋2|2＋||2＋|)2＝|＋＋＝(·|2＝ 4．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD．若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60°　 D．90° B　解析：如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，设PA＝AB＝1．则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)． 取PD中点为E， 则E，＝，所以 易知，＝，是平面PCD的法向量，所以cos是平面PAB的法向量， 所以平面PAB与平面PCD的夹角为45°． 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(　　) A．－ B． C．－ D． B　解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)． 所以＝(－2,0,1)．＝(0,0,2)，＝(－2，－2,0)， 设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)． 因为n⊥，，n⊥ 所以　所以 令y＝1，则n＝(－1,1,0)是平面B1BD的一个法向量． 所以cos〈n，．＝〉＝ 设直线BE与平面B1BD所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，．〉|＝ 6．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________． 　解析：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz． 设AB＝1，则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0，0,2)，＝(－1,0,2)，＝(0,1，－2)， cos〈，＝－＝〉＝， 所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为． 7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)，B(2，1，与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．)，则向量 ．＝〉＝〉∈[0，π]，所以sin〈n，．因为〈n，＝〉＝)，所以cos〈n，＝(1,3，　解析：设平面xOz的法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)， 8．四棱锥P­ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． (1)求证：平面AEC⊥平面PDB； (2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小． 解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则 A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)． (1)证明：因为＝(a，a,0)，＝(0,0，h)，＝(－a，a,0)， 所以＝0，·＝0，· 所以AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D， 所以AC⊥平面PDB． 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面PDB． (2)当PD＝，a)，EAB且E为PB的中点时，P(0,0， 设AC∩BD＝O，O，连接OE， 由(1)知AC⊥平面PDB于O， 所以∠AEO为AE与平面PDB所成的角． 因为，＝ ，＝ 所以cos∠AEO＝，＝ 所以∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°． 1．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为