课时分层作业10 用空间向量研究距离-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(十) (建议用时：45分钟) 1．已知平面α的一个法向量为n＝(2,2,1), 点A(－1，3,0)在平面α内，则点P(2,1,3)到平面α的距离为(　　) A． B． C．1 D． A　解析：由题意．故选A．＝＝＝(－3,2，－3)，则d＝ 2．若三棱锥P­ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A． B． C． D． D　解析：分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，＝(－1,0,1)．＝(－1,1,0)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由得 令x＝1，则y＝z＝1，则平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，所以点P到平面ABC的距离d＝．＝ 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1,1), 且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 B　解析：因为两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，．故选B．＝＝＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，所以两平面间的距离 4．已知点P(1,2,2)是直线l上一点，l∥平面α，向量n＝(2,0,1)为平面α的一个法向量，点A(－1，2,1)在α内，则直线l到平面α的距离为(　　) A． B． C．2 D． B　解析：因为A(－1,2,1)，P(1,2,2)，所以．故选B．，即直线l到平面α的距离为＝＝＝(－2,0，－1)．因为平面α的法向量n＝(2,0,1)，所以点P到平面α的距离d＝ 5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求点A到截面A1BD的距离． 解：如图，建立空间直角坐标系D1xyz，则A1(a,0,0)，A(a,0，a)，B(a，a，a)，D(0,0，a)． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则 即所以 令y＝－1，则x＝z＝1， 所以n＝(1，－1,1)为平面A1BD的一个法向量． 所以·n＝(0，a,0)·(1，－1,1)＝－a． 所以点A到平面A1BD的距离 d＝a．＝＝ 1．四棱锥P­ABCD中，＝(－3，－1,4)，则点P到平面ABCD的距离为(　　)＝(－2,1,0)，＝(2，－1,3)， A． B． C． D．2 A　解析：设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以 令x＝1可得y＝2，z＝0，所以n＝(1,2,0)为平面ABCD的一个法向量． 所以点P到平面ABCD的距离为，故选A．＝ 2．如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离(　　) A．等于a B．和EF的长度有关 C．等于a D．和点Q的位置有关 A　解析：取B1C1的中点G，连接PG，CG，DP，则PG∥CD，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错误．又AB∥平面PGCD，所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错．如图，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0，a,0)，D(0,0,0)，A1(a,0，a)，P．＝＝(a,0，a)，＝(0，a,0)，，所以 设n＝(x，y，z)是平面PGCD的法向量，则由得 令z＝1，则x＝－2，y＝0，所以n＝(－2,0,1)是平面PGCD的一个法向量． 设点Q到平面PEF的距离为d，则d＝，A对，C错．故选A．＝＝ 3．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点A关于平面BDC1对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为(D) A． B． C． D． 4．正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________． 　解析：取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A1(0,0,1)，E，D1(0,1,1)．，D(0,1,0)，F 所以＝(0,1,0)．，＝ 设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)． 则即 令z＝2，则x＝1． 所以n＝(1,0,2)是平面A1D1E的一个法向量． 又，＝ 所以点F到平面A1D1E的距离 d＝．＝＝ 5．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N到平面PAC的距离． 解：在四棱锥P­