课时分层作业9 空间中直线、平面的垂直-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(九) (建议用时：45分钟) 1．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　) A．10 B．－10 C． D．－ B　解析：α⊥β，所以平面α，β的法向量相互垂直．所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝－x－2－8＝0．所以x＝－10．故选B． 2．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为n＝(2,0,4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 B　解析：因为n＝－2a，所以n∥a，所以l⊥α． 3．已知平面α，β的法向量分别为u＝(－2,3,3)，v＝(3，－1,3)，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但是不垂直 D．以上都不正确 B　解析：由u＝(－2,3,3)，v＝(3，－1,3)，可知u·v＝0，所以平面α，β垂直．故选B． 4．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l⊥α，则m＝________． 1　解析：因为l⊥α，所以l的方向向量与α的法向量平行． 所以(2，m,1)＝λ，解得λ＝2，m＝1． 5．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1．若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________． 垂直　解析：以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则E．＝．所以，P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，F 又＝(0,1，－1)．＝(1,1，－1)， 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，得n＝(0,1,1)． 所以平面PBC的一个法向量为n＝(0,1,1)．因为∥n．所以EF⊥平面PBC．n，所以＝－ 6．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________． 垂直　解析：因为a·b＝－2＋6－4＝0，所以a⊥b，因此，α⊥β． 7．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(－1,3，z)，向量v＝(－3,2，－1)与平面α平行，则z＝________． 9　解析：因为l⊥α，所以u⊥v，所以(－1,3，z)·(－3，2，－1)＝0，即3＋6－z＝0，所以z＝9． 8．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点． 证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1． 证明：如图，建立空间直角坐标系Axyz．则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)．)，C1(0,1， 因为D为BC的中点， 所以D点坐标为(1,1,0)， 所以)．＝(0,0，＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)， 因为＝0＋0＋0＝0，·＝－2＋2＋0＝0，· 所以，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，⊥，⊥ 又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面A1AD，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1． 1．若d＝(1,1，－2)是直线l的方向向量，n＝(－1，3,0)是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．直线l在平面α内 B．平行 C．相交但不垂直 D．垂直 C　解析：因为d＝(1,1，－2)，n＝(－1,3,0)，假设存在实数k，使得d＝kn，所以(1,1，－2)＝k(－1,3,0)， 即⇒k无解．故不存在实数k，使得d＝kn成立，因此l与α不垂直． 由d·n＝(1,1，－2)·(－1,3,0)＝－1＋3＋0＝2≠0，可得直线l与平面α不平行． 因此直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．故选C． 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 C　解析：建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示． 设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)． 所以＝(－2,0,1)．＝(－1,0，－2)， 因为＝0，所以直线NO，AM的位置关系是异面垂直．故选C．· 3．(多选)给定下列命题，其中正确的命题是(　　) A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β B．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0 C．若n是平面α的法向量，且向量a⊂α，则a·n＝0 D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 ACD　解析