课时分层作业7 空间中点、直线和平面的向量表示-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(七) (建议用时：45分钟) 1．若A(－1,0,2)，B(1,4,10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,4) B．(1,4,2) C．(2,1,4) D．(4,2,1) A　解析：由已知得共线，是直线l的一个方向向量．故选A．＝(1,4,10)－(－1,0,2)＝(2,4,8)＝2(1,2,4)．故选项A中的向量与 2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1与l2的位置关系是(　　) A．l1⊥l2 B．l1∥l2 C．l1，l2相交不垂直 D．不能确定 A　解析：由题意，直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)．因为a·b＝－2＋6－4＝0，所以l1与l2的位置关系是l1⊥l2．故选A． 3．平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，则平面α的法向量可以是(　　) A．(1,0,1) B．(1,0，－1) C．(0,1,1) D．(－1,1,0) D　解析：设平面α的法向量为n．对于A选项，n·＝0，故D选项符合题意．故选D．＝0，n·＝2，C选项错误．对于D选项，由于n·＝－2，B选项错误．对于C选项，n·＝2，A选项错误．对于B选项，n· 4．在三棱锥P­ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是(　　) A．，1) B．(1， C．(1,1,1) D．(2，－2,1) A　解析：＝(－1,1,0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y,1)，＝(1,0，－2)， 由得 解得所以n＝(2,2,1)． 又n，＝ 因此，平面PAB的一个法向量为．故选A． 5．已知两个异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° B　解析：设两直线的夹角为θ，则由题意可得1×1×cos〈a，b〉＝－．故选B．．所以θ＝．所以〈a，b〉＝．所以cos〈a，b〉＝－ 6．在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1，0，－1)．若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABCD的法向量，求|a|的值． 解：由题意得＝(－1，－1，－2)．＝(1,1,0)， 又a为平面ABCD的法向量，则有 即 所以y＝1，z＝0． 所以a＝(－1,1,0)，则|a|＝． 1．(多选)已知A(－4,6，－1)，B(4,3,2)，则下列各向量中是平面AOB(O是坐标原点)的法向量的是(　　) A． B． C．(－15,4,36) D．(15,4，－36) BD　解析：设平面AOB(O是坐标原点)的法向量是u＝(x，y，z)， 则即 所以9y＋z＝0． 令y＝1，解得令y＝4，解得 故u＝或u＝(15,4，－36)．故选BD． 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　) A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2) B　解析：设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)． 所以＝(－1,0,2)．＝(0,2,1)， 设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的法向量，则取y＝1，得z＝－2，x＝－4．所以n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量． 结合其他选项，检验可知只有B选项是平面AEF的法向量． 3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B． C． D． B　解析：对于B，＝0，＝(3,1,2)·，则n·＝ 所以n⊥在平面α内．，则点P 4．已知＝(4,5,3)，求平面ABC的单位法向量．＝(2,2,1)， 解：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则有 取x＝1，则y＝－2，z＝2． 所以n＝(1，－2,2)． 由于|n|＝3，所以平面ABC的单位法向量为．或 $