课时分层作业4 空间向量基本定理-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(四) (建议用时：45分钟) 1．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝，则与a，b不能构成空间基底的是(　　)－＋，向量b＝＋＋ A． B． C．或 D． C　解析：因为与a，b共面，(a－b)，＝ 所以a，b，不能构成空间的基底． 2．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是(　　) A．{a,2b,3c} B．{a＋b，b＋c，c＋a} C．{a＋2b,2b＋3c,3a－9c} D．{a＋b＋c，b，c} C　解析：因为{a，b，c}是空间的一个基底，3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝3a＋6b＝3(a＋2b)，所以{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}中三个向量是共面的，不能作为基底，其他三个选项中的三个向量都是不共面的，都可作为基底．故选C． 3．设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，m＝8i＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n等于(　　) A．7 B．－20 C．23 D．11 B　解析：因为{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，所以i·j＝i·k＝j·k＝0，i·i＝k·k＝j·j＝1． 所以m·n＝(8i＋3k)·(－i＋5j－4k)＝－8i·i＋40i·j－32i·k－3i·k＋15j·k－12k·k＝－20．故选B． 4．如图，已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且等于(　　) ，则＝c，用a，b，c表示＝b，＝a， A．(a＋b－c)(b＋c－a) B． C．(c－a－b)(a－b＋c) D． D　解析：(c－a－b)．故选D．b＝a－c－)＝＋(－＝－＝ 5．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________． 0　解析：因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3为不共面向量． 又因为λe1＋μe2＋ve3＝0，所以λ＝μ＝v＝0，所以λ2＋μ2＋v2＝0． 6．如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________． ，＋＋＝　解析：因为 所以．＝2．所以AC1＝＋2×1×1×＋2×1×1×＝1＋1＋1＋2×1×1×·＋2·＋2·2＋22＋2＋2＝ 7．如图，三棱锥O­ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE＝λOC，记＝c．＝b，＝a， (1)用向量a，b，c表示向量； (2)求||的最小值． 解：(1)－＋＝＋＝ ＝b＋λc．a－＝－－)＋λ－( (2)三棱锥棱长都为1，故a2＝b2＝c2＝1， a·b＝a·c＝b·c＝， ||2＝ ＝a·b－λa·c－λb·c＋λ2＋＋ ＝，＋＋λ2－λ＝ 故当λ＝．＝|min＝|取得最小值，且|时，| 1．已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m＝6i＋3k，n＝－i＋4j－5k，则m·n＝(　　) A．9 B．－9 C．－21 D．21 C　解析：向量i，j，k是一组单位正交向量，所以|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝j·k＝i·k＝0． 因为m＝6i＋3k，n＝－i＋4j－5k，所以m·n＝(6i＋3k)·(－i＋4j－5k)＝－6－15＝－21．故选C． 2．如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′C′的中心．若，则x＋y＝(　　)＋y＋x＝ A． D．2 B．1 C． B　解析：取基底⇒x＋y＝1．故选B．，所以x＝y＝＋＋)＝＋(＋＝＋＝＋＝，所以，， 3．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB．M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于(　　) A．＋＋ B．)＋＋( C．)＋＋( D．＋＋ B　解析：如图，)＋(×＋)＝＋(＝ ＝)．＋＋(＝＋＋ 4．在正四面体P­ABC中，M是PA上的点，且PM＝2MA，N是BC的中点．若，则x＋y＋z的值为________．＋z＋y＝x 　解析：如图所示． ．＋＋)＝－＋(＋＝－＋＝ 由空间向量基本定理得x＝－．．故x＋y＋z＝，z＝，y＝ 5．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED．以{＝________．}为基底，则，， － －＋＝－＝(图略)，则　解析：由题意，连接＋－ ＝)＋(×)－－(＋ ＝－．＋－ 6．已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点．若AB＝OC，求证：PM⊥QN． 证明：如图，取向量)．＋(＝)，＋(＝为空间基底，则，， 所以)，－＋(＝)－＋(＝－＝ )．－＋(＝)－＋(＝－＝ 又因为)，－(