第五章 三角函数 专题4 三角恒等变换的综合应用-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第5章 三角函数 专题4 三角恒等变换的综合应用 三角恒等变换中的求值问题在高考中较为常见，其主要考查的就是给交求值、给值求值和给值求角等三个典型题目，要很好地解决此类问题，关键在于熟练掌握两角和差、二倍角公式等三角函数的公式。解决此类问题要注意角的变换与拼凑，此类问题没有固定方法。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大．平行关系每年都考，故用定理解决平行关系居多。 【题型导图】 类型一 求值问题 例1：（2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末）设 ，则 的大小是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】C 【详解】 由题意 ，故 ，且 由于 ，故 故选：C 【变式1】（2021·江西·九江一中高一期中）已知 ( )，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ，∴ ，∴ ， 故 ， ∴ ， 故 ， 故选：B. 【变式2】（2021·全国·高一课时练习）已知 ， ，则 _____． 【答案】 ## 【详解】 因 ，则 ， ， ， 又 ，因此， ， 所以 . 故答案为： 【变式3】（2021·四川·仁寿一中高一开学考试）已知 ， . （1）求 ； （2）已知 ， .求 . 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 解：（1） ， ， EMBED Equation.DSMT4 （2） EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 【痛点直击】三角函数的求值问题包含已知三角函数值求三角函数值、求角问题，此类问题关键是如何选择公式，找到要求的和已知的三角函数值之间的关系。选择公式应从三个方面考虑：角的关系、式子的结构特点、三角函数名。 类型二 化简问题 例2.（2021·四川·成都外国语学校高一月考（文）化简： . 【答案】 . 【详解】 ∵ ∴原式 【变式1】（2021·全国·高一课时练习）化简： ． 【答案】2． 【详解】 解：原式 ． 【变式2】（2021·陕西·榆林十二中高一月考）化简计算与证明． （1）已知角 是第二象限角，且 ，求 的值； （2）化简： ； （3）已知 ，证明： ． 【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析． 【详解】 （1）由 ，则 ， . （2）原式 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . （3）左边 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，得证. 【变式3】（2021·四川省南充高级中学高一期中（理）） ______． 【答案】 【详解】 ， 故答案为： . 【痛点直击】三角函数的化简问题，就是将三角函数关系式中的角的个数、三角函数名个数减少，寻找角之间的关系，利用合适的公式将式子化简或求值。 类型三 恒等变换在三角函数性质中的应用 例3.（2021·湖南·永州市第一中学高一期中）已知函数 ， . （1）求函数 的单调递减区间； （2）若函数 在 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） 的单调递减区间为 ;（2） . 【详解】 （1） EMBED Equation.DSMT4 令 ，解得 . 故 的单调递减区间为 （2）由 在 恒成立，即 ， 恒成立， ∵ ，则 ，作出 草图， 由图知：当 ， ∴ ，即 的取值范围为 . 【变式1】（2021·甘肃·庆阳第六中学高一期末）已知函数 ． （1）求函数 的最小正周期； （2）当 时，求函数 的值域. 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 （1）由 ， 所以函数 的最小正周期为 ． （2） 时， ， ， ∴ 的值域为 ． 【变式2】（2021·全国·高一单元测试）已知函数f(x)＝cos(2x EMBED Equation.DSMT4 )+2sin2x． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； （2）当x∈(0, )时，求函数f(x)的值域． 【答案】（1）最小正周期为π，增区间 [kπ EMBED Equation.DSMT4 ,kπ+ ]，k∈Z；（2）( ,2]． 【详解】 （1）f(x)＝cos(2x EMBED Equation.DSMT4 )+2sin2x＝ cos2x+ sin2x+2 EMBED Equation.DSMT4 ＝sin(2x EMBED Equation.DSMT4 )+1， ∴最小正周期为 ． 令2kπ EMBED