第五章 三角函数 专题3 三角函数的给值求角问题-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第5章 三角函数 专题3 三角函数的给值求角问题 通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 ，选正、余弦皆可；若角的范围是 ，选余弦较好；若角的范围为 ，选正弦较好． 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 已知正余弦值求角问题 例1：（2021·江西省莲花中学高一月考）已知 且 则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：因为 ，且 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ， ， 所以 因为 ，所以 故选：D 【变式1】（2021·江苏常熟·高一期中）已知 ， ， ， 均为锐角，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是锐角， ， ， ， ，且 ， ， ， . 故选：A 【变式2】已知 ， 均为锐角，若 ， ，则 的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：∵α，β均为锐角，若sinα ，cosβ ， ∴0＜α+β＜π， cosα ，sinβ ， 则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ ， ∵0＜α+β＜π， ∴α+β ， 故选：A． 【变式3】已知 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 或 【答案】C 【详解】 ， ， ， 则 故选：C 【痛点直击】已知角的正余弦值求角问题，要先考虑角之间的关系（2倍或和差为特殊角关系），然后选合适正弦或余弦公式求三角函数值，选择三角函数名时，要注意角的范围，有时需根据角的函数值的正负或与特殊角的三角函数值大小关系，缩小角的范围。 类型二 已知正切值求角问题 例2.（2021·江苏如皋·高一期中）已知 ， ，则 的值为（ ） A． B． 或 C． D． 【答案】A 【详解】 因 ， ，且 ，于是得 ，则 ， ， 所以 . 故选：A 【变式1】（2021·江苏广陵·扬州中学高一期中）已知 ， 均为锐角，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为 为锐角，且 ， 所以 ， ， 于是 ， 又 为锐角，所以 . 故选：C. 【变式2】（2021·江苏高一课时练习）若 、 ，且 、 是方程 的两个根，则 等于（ ） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】D 【详解】 、 是方程 的两个根， 由韦达定理得 ，则 且 ， 、 ， ， ，则 ， 由两角和的正切公式得 ，因此， . 故选：D. 【变式3】（2021·四川省大竹中学高一月考）已知 ， ， ， ，则 的值为______. 【答案】 【详解】 且 ，所以， ， 因为 ，所以， ， 由二倍角的正切公式可得 ， 所以， ， 因此， . 故答案为： . 【痛点直击】已知角的正切值求角问题，要考虑角的关系（2倍或和差为特殊角的关系），选择合适的三角函数求值。 【限时训练】 1．（2021·江苏省镇江中学高一期中）已知 ， ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：因为 ，所以 ， 所以 ， ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 因为 ， ，所以 ，则 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 故选：D 2．（2021·上海）已知 ， 均为钝角， ， ，则 的值为（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】B 【详解】 解：由题意知： ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 则 ， 又 ． 故选： ． 3．若 ， ， ， ，则角 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 均为锐角， ， 由 ， ， 得 ， ， 若 ， 则 ， 与 矛盾， 故 ， 则 ， 又 ， . 故选：B. 4．若锐角 满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ，故 . 故 ，故 . 锐角 ， ，故 . 故选： . 5．已知 ，若 是方程 的两根，则 （ ） A． 或 B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为 是方程 的两根可得 .所以 均为正数,又 ,故 所以 .又 .故 . 故选：C 6．（2021·衡水市第十四中学高一期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意可得 ， ； 所以 ； 因为 ， ， ， 所以 ，所以 . 因为 ，所以 .故选B. 7．（2021·定远县育才学校高一开学考试）已知 都是锐角，则 ___________. 【答案】 【详解】 根据正切函数的和角公式，化简得 ,因为 为锐角，则 为锐角 因为 都是锐角 所以 故答案为：