微专题：幂函数的定义 图像与性质 -2021-2022学年高一上学期数学复习讲义沪教版（2020）必修第一册

用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化 【学生版】 微专题：幂函数的定义 图像与性质 【主题】 1、幂函数的定义 当指数 固定，等式 确定了变量 随变量 变化的规律，称为指数为α的幂函数； 2、常见的5种幂函数的图像 3、幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图像都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上严格单调递增； ③当α<0时，幂函数的图像都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上严格单调递减； 【典例】 题型1、幂函数的概念 例1、已知幂函数 ，求此幂函数的解析式，并指出定义域。 【提示】； 【解析】； 【说明】。 题型2、幂函数图像 例2、已知幂函数f(x)＝xα的图像过点P，试画出f(x)的图像并指出该函数的定义域与严格单调区间。 【解析】； 【说明】； 题型3、幂函数的图像与性质 例3、（1）已知幂函数 ( )的图像与坐标轴无交点，且关于 轴对称，求 的值，并画出它的图像。 （2） 和 2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 题型4、幂函数性质的应用 例4、（1）若 ，那么 的取值范围是________________． （2）若 ，那么 的取值范围是_______． 【归纳】 1、明确1个概念——幂函数的定义与表示 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1； 2、掌握2个解题依据——解决幂函数图像问题应把握的两个解题依据 （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴（简记为指大图高）； （2）依据图像确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像（类似于 或y＝ 或 ）来判断； 3．掌握3种方法——比较幂值大小的三种基本方法 （1）直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的严格单调性来比较； （2）转化法：当幂指数不相同时，可先转化为相同幂指数，再利用幂函数的严格单调性来比较； （2）中间量法：当底数不同且幂指数不相同时，不能运用幂函数的严格单调性来比较大小，可选取适当的中间量与两