专题20 双曲线及其标准方程-2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题20 双曲线及其标准方程 题型一 利用双曲线定义求方程 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，，； （2）焦点在x轴上，经过点， （3）焦点为，，且经过点． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为， 因为，，所以双曲线方程为； （2）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为， 因为经过点，，代入可得， 令，可得， 解得，所以， 所以双曲线方程为：； （3）因为焦点为，，所以c=6，且交点在y轴， 因为过点且经过点， 根据双曲线定义可得， 解得， 又， 所以双曲线方程为：； 2．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程． 【答案】炮弹爆炸点在双曲线上，方程为. 【解析】以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系， 则，设爆炸点为， 则， 根据双曲线的定义可得，M在双曲线上，且， 所以， 所以， 所以点M的轨迹方程为：. 3．一块面积为12公顷的三角形形状的农场，如图所示△PEF，已知，，试建立适当直角坐标系，求出分别以E，F为左、右焦点且过点P的双曲线方程. 【答案】=1. 【解析】 以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 设以，为焦点且过点的双曲线方程为， 焦点为，． 由，，， 得直线和直线的方程分别为和． 将此二方程联立，解得，，即点坐标为，． 在中，，上的高为点的纵坐标， 由题设条件，，即点坐标为． 由两点间的距离公式， ． 又， 故所求双曲线的方程为． 题型二 双曲线定义的应用 4．已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】曲线右焦点为，周长 要使周长最小，只需 最小，如图： 当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a= 故选B 5．双曲线16x2 - 9y2=144的左､右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=64，则∠F1PF2=________. 【答案】60° 【解析】双曲线方程16x2 - 9y2=144，可化为， ∴F1(-5,0)，F2(5,0). 设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义，知|m-n|=2a=6，又m·n=64， 在△PF1F2中，由余弦定理知： ， ∴∠F1PF2=60°. 故答案为：60°. 6．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】对于双曲线，则，，，如下图所示： 设双曲线的右焦点为，则， 由双曲线的定义可得，则， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立. 因此，的最小值为. 故答案为：. 7．如图，若是双曲线的两个焦点. （1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； （2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积. 【答案】（1）10或22；（2）. 【解析】解：（1）是双曲线的两个焦点，则， 点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为， 则由双曲线定义可知，，解得或， 即点到另一个焦点的距离为或； （2）P是双曲线左支上的点，则， 则，而， 所以， 即， 所以为直角三角形，， 所以. 8．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，求的最小值. 【答案】9 【解析】由题意可知，点在双曲线的两支之间，设双曲线的右焦点为,则，由双曲线定义，得，而，两式相加，得，当且仅当三点共线时等号成立，则的最小值为9. 题型三 根据方程表示双曲线求参数的范围 9．若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A．(－2，2) B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 【答案】A 【解析】由题意，方程＝1表示双曲线，则满足， 解得，即实数的取值范围是. 故选：A. 10．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（ ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则. 【答案】CD 【解析】①，当时为曲线C为圆,故A错误； ②若C为椭圆得：解得： 且，故B错误； ③若为双曲线，解得；或，故C正确； ④表示焦点在轴上的椭圆，得 解得，故D正确． 故选：. 11．已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________. 【答案】 【解析】根据双曲线标准方程且焦点在y轴上， ∴，解得，即m的范围为. 故答案为：. 题型四 双曲线的轨迹问题 12．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2