专题19 椭圆的简单几何性质-2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题19 椭圆的简单几何性质 题型一 利用椭圆的标准方程研究几何性质 1．已知椭圆C： 1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是_____. 【答案】x+y﹣1＝0 【解析】椭圆C：1的右焦点为F（1，0）， 直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限）， 若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′， 可知直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程是：y＝﹣（x﹣1）， 即x+y﹣1＝0. 故答案为：x+y﹣1＝0. 2．已知椭圆G：（）左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点P在椭圆C上，且满足，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是__． 【答案】①③ 【解析】由椭圆的对称性及， 所以可得以，为焦点的椭圆为椭圆， 则点 P 为椭圆与椭圆的交点， 因为椭圆G的长轴顶点 ，短轴的绝对值小于， 椭圆的长轴顶点，短轴的交点的横坐标的绝对值小于， 所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确， 点 P 靠近坐标轴时（或），越大， 点 P 远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值， 此时两椭圆方程为：，， 两方程相加得，即的最小值为 2，③正确； 椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上， ∴，④错误． 故答案为：①③． 3．若椭圆焦距为，焦点在轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程为____________． 【答案】 【解析】设椭圆方程为， 如图所示，为等腰直角三角形， 为斜边的中线(高)， 且，， 所以，所以， 故所求椭圆的标准方程为， 故答案为：. 4．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 【答案】长轴长和短轴长分别是8和6，离心率，焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)． 【解析】把已知方程化成标准方程为， 所以a＝4，b＝3，c＝＝， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6； 离心率e＝； 两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)； 四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)． 题型二 根据几何性质求椭圆的方程 5．已知椭圆的左焦点为，则（ ） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】依题意，椭圆焦点在x轴上，且， 所以，又， 所以． 故选：B 6．（多选）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（ ） A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B． C． D． 【答案】AB 【解析】依题意，，即，所以，所以，因此B正确； 又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确； 设，其中，则有， 即有，则，因此C错误； ， 即有，则，因此D错误． 故选：AB． 7．求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程. 【答案】 【解析】由题意可设所求椭圆的标准方程为. 又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得， 解得λ=11或(舍去). 故所求椭圆的标准方程为. 8．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2． (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)已知P(0，2)，过点Q(﹣1，﹣2)作直线l交椭圆C于A、B两点(异于P)，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由． 【答案】(Ⅰ)＝1；(Ⅱ)是，定值为4. 【解析】(Ⅰ)由题意得，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆C的方程为＝1． (Ⅱ)k1+k2为定值4，证明如下： (ⅰ)当直线l斜率不存在时，l方程为x＝﹣1，由方程组 易得，， 于是k1＝，k2＝，所以k1+k2＝4为定值． (ⅱ)当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣(﹣2)＝k[x﹣(﹣1)]，即y＝kx+k﹣2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组，消去y，得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k＝0， 由韦达定理得(*) ∴k1+k2＝＝ ＝＝2k+(k﹣4)•，将(*)式代入上式得k1+k2＝4为定值. 题型三 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 9．在中，，如果一个椭圆通过､两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在上，则这个椭圆的离心率（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设另一个焦点为，如图所示，∵，， ，则， 设，则，， ∴，，，∴， 故选:D. 10．已知为坐标原