命题及其关系、充分条件与必要条件文科复习讲义-2022届高三数学一轮复习
命题及其关系、充分条件与必要条件
考 点 知 识 梳 理
一、命题的概念
1、命题的概念：在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫__________，判断为假的语句叫__________。
2、命题的判断及命题真假的判定。
3、命题的形式：__________。
例1：给出以下五个结论：（1）经过点A(
，
)， B(
，
)两点的直线方程为：
＝
；（2）以A(，)， B(，)两点为直径的两个端点的圆的方程为：(
－)(－)＋(
－)(－)＝0；（3）平面上到两个定点F1，F2的距离的和为常数2
的点的轨迹是椭圆；（4）平面上到两个定点
，
的距离的差为常数2(2＜︱︱)的点的轨迹是双曲线；（5）平面上到定点
和到定直线
的距离相等的点的轨迹是抛物线。其中正确的结论有（ ）
A：4个 B：3个 C：2个 D：1个
变式练习1：下列命题中是真命题的是（ ）
A：若︱
︱＝︱
︱，则＝－ B：＝
的最小正周期为2
C：若M∩N＝M，则M⊆N D：在△ABC中，若
·
＞0，则B为锐角
变式练习2：设
、
、
是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个结论：（1）若⊥，⊥，则∥；（2）若⊥，∥，则⊥； （3）若在直线上有两个点到的距离相等，则∥； （4）若⊥，∥，则⊥。其中正确命题的序号是（ ）
A：（1）（2） B：（1）（4） C：（2）（4） D：（3）（4）
1
二、四种命题及其关系
1、四种命题的形式：
原命题：___________
逆命题：___________
否命题：___________
逆否命题：___________
2、四种命题及相互关系（如右图）
3、四种命题的真假关系
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
（3）四种命题中真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4个。
注意：（1）对于不是“若
，则
”形式的命题，需要先改写；（2）当命题有大前提时，写其他三个命题时需要保留大前提；（3）对于有多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提；（4）【等价命题和等价转化：（1）逆命题与否命题互为逆否命题；（2）互为逆否命题的两个命题同真假；（3）当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假】。
原词 | 等于 （＝） | 大于 （＞） | 小于 （＜） | 是 | 都是 | 至多有 一个 | 至多 有 | 至少有一个 |
否定 词语 |
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|
|
|
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|
|
|
例2：下列命题是真命题的是（ ）
（1）“若
＋
≠0，则、不全为零”的否命题；
（2）“所有正六边形都相似”的逆命题；
（3）“若
＞0，则＋－＝0有实数根”的逆否命题；
（4）“若－
是有理数，则是无理数”。
A：（1）（4） B：（3）（4） C：（1）（3）（4） D：（1）（2）（3）（4）
变式练习1：在命题“×＝0，则＝＝0”和它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）
1
A：1个 B：2个 C：3个 D：4个
变式练习2：下列四个命题：（1）若
×
＜0为函数
在区间(，
)内存在零点的充分不必要条件；（2）命题“若＜1，则－1＜＜1”的否命题是“若＞1或＜－1，则＞1”；（3）正弦函数关于轴对称；（4）正切函数在定义域内是单调递增函数。其中正确的个数为（ ）
A：1个 B：2个 C：3个 D：4个
变式练习3：已知命题“＝1，则直线(＋2)＋＋1＝0与直线(－2)＋(＋2) －3＝0垂直”，则其否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数是（ ）
A：0个 B：1个 C：2个 D：3个
三、充分条件与必要条件
是的充分条件：是条件，充分性说明条件能推出结论，即______。
是的必要条件：是条件，必要性说明结论能推出条件，即______。
注意：【集合与充要条件：设集合A＝{｜满足条件}，B＝{｜满足条件}，则有若A⊆B，则是q的充分条件；若B⊆A，则是的必要条件；若A＝B，则是的充要条件；若A≠B，且B≠A，则是的既不充分也不必要条件。】
例3：设、都是非零向量，则“·＞0”是“向量与夹角为锐角”的（ ）条件。
A：充分不必要 B：必要不充分 C：充要 D：既不充分也不必要
例4：设、是两个不同的平面，是一条直线，且
，则“⊥”是“⊥” 的（ ）条件。
A：充分不必要 B：必要不充分 C：充要 D：既不充分也不必要
变式练习1：设：0＜＜5，：－5＜－2＜5，那么是的（ ）条件。
A：充分不必要 B：必要不充分 C：充要 D：既不充分也不必要
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