第01讲 有理数（知识点梳理）（记诵版）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

第1讲 有理数知识点梳理 考点01 正数和负数 1.正数：像1,2,3,4,0.1等这样大于0的数叫作正数。正数的前面的“+”可以省略不写。 2.负数：像-0.2，-2，-6这样在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫作负数。 3.注意事项： （1）0既不是正数也不是负数，0是正数和负数的分界线； （2）对于正数和负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带负号的数就是负数，要根据正负数的含义，看其是符合正数的定义还是符合负数的定义。 4.正负习惯：习惯上把零上、增加、前进、海平面以上、收入、向南、盈利、上升等记为正，把与它们意义相反的量记为负。 考点02 有理数与数轴 1.有理数定义：正整数、0、负整数统称整数，正分数、负分数统称分数，整数和分数统称有理数。 2.有理数的分类 3.注意： （1）整数可以看成是分母为1的分数，所以有理数都可以写成分数的形式；有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，所以有限小数和无限循环小数都是有理数。 （2）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数。 4.零的作用 （1）表示数的性质，例如0是自然数； （2）表示没有，例如有5个本子，用+5表示，没有本子用0表示； （3）表示正数与负数的分界。 5.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。数轴的三要素即原点、正方向和单位长度。 6.数轴上的点与有理数 有理数都可以用数轴上的点来表示，任何一个有理数都能在数轴上找到与它对应的点，而且是唯一的点，但数轴上的点不一定都是有理数。 考点03 相反数和绝对值 1.相反数的代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数，把其中一个数叫作另一个数的相反数。0的相反数是0. 2.相反数的几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧且到原点的距离相等；这两点关于原点对称。 3.多重符号的化简：数字前面的“-”号的个数若有偶数个，化简结果为正；有奇数个时，花间结果为负。 4.相反数的性质：如果 互为相反数，那么 或 或 ；反过来，如果 ，那么 互为相反数。 5.绝对值的概念：在数轴上，表示 的点到原点的距离，叫作数 的绝对值，记作 ，读作 的绝对值。 6.绝对值的意义： （1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。距离原点越远，绝对值越大，距离原点越近，绝对值越小。 （2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 或 7.有关绝对值的注意事项： （1）因为距离是非负的，所以任何一个数的绝对值都是非负数，即 ； （2）互为相反数的两个数因为到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数的绝对值相等； （3）含绝对值的四则运算一般要先去绝对值； （4）两个负数，绝对值大的反而小。 考点04 有理数大小的比较 1.利用数轴进行有理数的比较： （1）数轴上不同的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 （2）正数大于0,0大于负数，正数大于负数。 2.利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。（在比较两个负数大小时，一般不改变两数原来的顺序，以免判断时失误） 3.倒数比较法：同号两数，倒数大的反而小。 4.差值比较法：设 是任意两个有理数，若 则 ；若 ，则 ；若 ，则 。 5.商值比较法：设 ，则 ； ； 。 考点05 有理数的加减 1.有理数的加法法则： （1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等且异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）互为相反数的两个数相加得0； （4）一个数与0相加，仍得这个数。 2.用字母表示有理数加法的运算法则： （1）同号两数相加： 若 ，则 ； 若 ，则 ； （2）异号两数相加： 若 ，且 ，则 ； 若 ，且 ，则 ； 若 ，且 ，则 ； （3）一个数与0相加： ； 3.有理数加法的运算律： （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。（ ）（交换加数的位置时，不要忘记带上符号） （2）加法结合律：3个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 4.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示为： 。 5.有理数加、减法混合运算 （1）加减法统一成加法； （2）有理数加、减混合运算的方法和步骤 第一步：用减法法则将减法转化为加法； 第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算。 6.有理数加减混合运算的注意事项 （1）运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同他们前面的符号一起交换； （2）应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，