第4.2.2讲 等差数列的前n项和公式-2021-2022学年高二数学链接教材精准变式练（人教A版2019选择性必修第二册）

第4.2.2讲 等差数列的前n项和公式 教材知识链接 1.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 2.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. 考点一 等差数列的性质及应用 【典例1-1】已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A．36 B．72 C．91 D．182 【答案】D 【详解】 数列为等差数列，则，解得 则 【典例1-2】设数列,均为等差数列，它们的前项和分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为等差数列前n项和中，S2n+1＝（2n+1）an， 所以S9＝9a5，T9＝9b5， 所以， ∴． 规律方法　1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N+)，则am＋an＝ap＋aq. 2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (2)S2n－1＝(2n－1)an. 【跟踪训练1-1】等差数列中，若，，则前9项的和等于（ ） A．66 B．99 C．144 D．297 考点二　等差数列的前n项和及其最值 【典例2-1】已知数列满足，其前项和为，那么取何值时，取得最大值？并求出的最大值. 【详解】 解： 对称轴 或，取得最大值. 最大值. 规律方法　求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法： (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值. (2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值. ①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值)； ②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值). 【跟踪训练2-1】已知在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前n项和． 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（ ）． A．10层 B．11层 C．12层 D．13层 3．在等差数列{an}中，若S10=120，则a1+a10的值是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 4．已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A．72 B．36 C．18 D．16 5．已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则n＝（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（ ） A． B． C．2 D．3 7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2，S3，S5成等差数列，且a1=10，则{an}的公差d=（ ） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 8．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 9．已知数列是等差数列，公差，前项和为，则的值（ ） A．等于4 B．不确定，与有关 C．等于 D．等于2 10．已知数列求该数列的前项和（ ） A． B． C． D． 二、多选题 11．设等差数列的前项和为．若，，则（ ） A． B． C． D． 12．在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则是中最大的项 C．若，则 D．若，则 三、解答题 13．根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前项和： （1），，； （2），，． 14．在等差数列中，已知，. （1）求的通项公式； （2）若的前项和为，求的最小值. 15．设等差数列的前项和为，已知