第4.2.1讲 等差数列的概念-2021-2022学年高二数学链接教材精准变式练（人教A版2019选择性必修第二册）

第4.2.1讲 等差数列的概念 教材知识链接 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝. 考点一　等差数列基本量的运算 【典例1-1】已知等差数列中，则公差是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】 由题意，利用等差数列的通项公式： 故选：C 【典例1-2】在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61，则n＝（ ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【详解】 由a1+a2+a321,得, a2a3＝70，∴a3＝10, ∴公差 ∴， , 解得 故选：C. 规律方法　1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【跟踪训练1-1】在等差数列中，，，则公差d等于（ ） A． B．1 C． D．2 【跟踪训练1-2】等差数列中，已知，，则公差（ ） A． B． C． D． 考点二　等差数列的判定与证明 【典例2-1】若成等差数列，求证：也成等差数列. 【详解】 证明：因为成等差数列，所以， 因此，所以 也成等差数列. 规律方法　1.证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数. (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N+)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论： (1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列. (2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 【跟踪训练2-1】已知等差数列，，公差.若在每相邻两项各插入两个数，使之成等差数列，求新数列的第50项，是新数列的第几项？ 一、单选题 1．在等差数列中，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，则 =（ ） A． B． C． D． 3．如果一个数列的前5项分别是1，2，3，4，5，则下列说法正确的是（ ） A．该数列一定是等差数列 B．该数列一定不是等差数列 C．该数列不一定是等差数列 D．以上结论都不正确 4．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（ ） A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺 5．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于（ ） A．5 B．8 C．10 D．14 6．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ） A．30 B．27 C．24 D．21 7．已知数列 为等差数列，，，那么数列的通项公式为( ) A． B． C． D． 8．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知等差数列满足，且，则（ ） A． B． C． D． 10．数列满足，则下列说法正确的是（ ） A．数列是等差数列 B．数列有最小项 C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列 三、解答题 11．根据下列等差数列的通项公式，求数列的首项与公差： （1）； （2）． 12．等差数列中， （1）已知，，求的值； （2）若，，，求的值． 13．已知在数列中，，. （1）记，判断是否为等差数列，并说明理由； （2）求数列的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 $第4.2.1讲 等差数列的概念 教材知识链接 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝. 考点一　等差数列基本量的运算 【典例1-1】已知等差数列中，则公差是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】 由题意，利用等差数列的通项公式： 故选：C 【典例1-2】在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝21，a2a3＝70，若an＝61