第4.1讲 数列的概念-2021-2022学年高二数学链接教材精准变式练（人教A版2019选择性必修第二册）

第4.1讲 数列的概念 教材知识链接 1.数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N+ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 考点一　由数列的前几项求数列的通项 【典例1-1】 (1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　) A.an＝(－1)n－1＋1 B.an＝ C.an＝2sin D.an＝cos(n－1)π＋1 (2)已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________. 解析　(1)对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin不合题意. (2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－， 故原数列可变为－，，－，，…， 故其通项公式可以为an＝(－1)n·. 答案　(1)C　(2)an＝(－1)n· 规律方法　由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+处理. 【跟踪训练1-1】 写出下列各数列的一个通项公式： (1)－，，－，，…； (2)，2，，8，，…； (3)5，55，555，5 555，…. 考点二　由an与Sn的关系求通项　 【典例2-1】 (1)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________________. (2)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________. 解析　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1， 当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， 所以数列{an}的通项公式为an＝ (2)由Sn＝2an＋1，得a1＝2a1＋1，所以a1＝－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)， 得an＝2an－1. ∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列. ∴S6＝＝＝－63. 答案　(1)an＝　(2)－63 规律方法　数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示. 易错警示　在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出an＝2n(n∈N+). 【跟踪训练2-1】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________. (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________. 考点三　由数列的递推关系求通项　 【典例3-1】 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　) A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n C.2＋nln n D.1＋n＋ln n (2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________. (3)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________. (4)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则an＝________. 解析　(1)因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n， 所以a2－a1＝ln 2－ln 1， a3－a