第一节 平面向量及其线性运算-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练

题型考点分析　第一节 平面向量及其线性运算 【考点一】 平面向量的有关概念 【典型例题1】 给出下列结论： ①两个单位向量是相等向量； ②若a＝b，b＝c，则a＝c； ③若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ④若，则a＝b；＝ ⑤若a与b共线，b与c共线，则a与c共线． 其中正确结论的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】 两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，①错误；若a＝b，b＝c，则a＝c，向量相等具有传递性，②正确；一个向量的模为0，则该向量一定是零向量，方向不确定，③正确；若，则a＝b，还要方向相同才行，④错误；a与b共线，b与c共线，则a与c共线，当b为零向量时不成立，⑤错误．＝ 【答案】 B 【归纳总结】 平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a与是与a同方向的单位向量．　 的关系： 【考点二】 平面向量的线性运算 【典型例题2】 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ (2)如图所示，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝(　　)，F为AE的中点，则＝3 A．＋ B．－－ C．－－ D．＋ 【解析】 (1)，故选A． －)＝＋(×－＝－＝－＝ (2)根据平面向量的运算法则得，＋＝ ． －＝，＝ 因为，＝，＋＝ 所以，故选B． ＋＝－＋＝－ 【答案】 (1)A　(2)B 【归纳总结】 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：①平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；②三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和)；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答． 向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础．对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形，然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握． 【考点三】 根据向量线性运算求参数 【典型例题3】 如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若，则λ＋μ＝________．＋μ＝λ 【解析】　因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1． 因为点M为AH的中点， 所以，＋＝)＝＋(＝＝ 又． ，所以λ＋μ＝，μ＝，所以λ＝＋μ＝λ 【答案】　 【归纳总结】 向量线性运算的解题策略 (1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 【考点四】 平面向量共线定理的应用 【典型例题4】 设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；＝2a＋8b，＝a＋b， (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 【解析】　(1)证明：因为＝3(a－b)，＝2a＋8b，＝a＋b， 所以共线，，，所以＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5＋＝ 又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)因为ka＋b与a＋kb共线， 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b． 又a，b是两个不共线的非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0．所以k2－1＝0．所以k＝±1． 【考点五】 平面向量共线定理的推广方法 【典型例题5】 如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设(x，y∈R)．求证：x＋y为定值。＋y＝x 【解析】证明：当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若． ＋mμ＝mλ＝m，则＝m (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1．由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得＋μ＝λ 又(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m．以上过程可逆．＋y＝x 因此得到结论：，则x＋y＝m(定值)，反之亦成立．＋y＝x 【归纳总结】 共线定理：已知，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1． ＋y＝x为平面内两个不共线的向量，设， 【