第32-34讲 空间向量与立体几何-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第32讲 空间几何体的体积及表面积 空间几何体的表面积与体积公式 　　　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 台体(棱台和圆台) 球 题型一：柱锥台表面积 1．（2021·全国高一课时练习）正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，它的表面积为. 故选:B. 2．（2021·全国高二单元测试）已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这个圆台的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，圆台的高为， 所以， 由题得， 所以这个圆台的侧面积是. 故选：B 3．（2021·全国）若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（ ） A．12 B．48 C．64 D．72 【答案】D 【详解】 解：六棱柱的底面是边长为3的正六边形， 故底面周长， 又侧面是矩形，侧棱长为4， 故棱柱的高， 棱柱的侧面积， 故选：D 4．（2021·全国高一课时练习）若圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 作圆锥的轴截面如图，则高AD=4,底面半径CD=3, 圆锥的母线AC=5， 所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 5．（2021·广东海丰·高一月考）若一个圆柱的侧面积和它的两个底面积之和相等，则该圆柱的母线长与底面圆的半径的关系是（ ） A． B． C． D．以上答案都有可能 【答案】A 【详解】 圆柱的侧面积和它的两个底面积之和相等，，. 故选：A. 6．（2021·重庆实验外国语学校高二期中）已知圆锥的高为，底面半径为4．若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】 设球的半径为，因为圆锥的高为，底面半径为4， 所以圆锥的母线长为：， 由题意可知：， 故选：A 7．（2021·河北大名·）已知圆台的上底面面积是下底面面积的倍，母线长为4，若圆台的侧面积为，则圆台的高为（ ） A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】 设上底面的半径为，因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍， 所以下底面的半径为，又母线长为4，圆台的侧面积为， 所以，解得，所以， 所以圆台的高为， 故选：B． 8．（2021·运城市新康国际实验学校高二月考（理））如图，圆柱的底面半径为1，平面为圆柱的轴截面，从点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到点，若绳子的最短长度为，则该圆柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 长方形为圆柱的侧面展开图，如图所示： 由题知：，，分别为和的中点. 所以. 所以圆柱的侧面积为. 故选：A 9．（2021·天津市军粮城中学高一期中）正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为， 所以棱台的斜高为: . 所以棱台的侧面积是: . 故选：D. 10．（2021·福建南平·高一期末）如图，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点将此圆台分为上下两个圆台，设该平面上方的圆台侧面积为，下方的圆台侧面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图为圆台的截面图形，截面圆圆心为O，半径为r，则，l为上下方圆台的母线长，则，∴ 故选：C. 11．（2021·山西吕梁·高一期末）圆锥的母线长是2，侧面积是，则该圆锥的高为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】 设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 因为圆锥的侧面积是，所以，所以， 则， 故选：A. 12．（2021·全国）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形， 即圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 所以该圆锥的侧面积为. 故选：B. 13．（2021·云南昆明八中高一期中）棱长都是3的正四面体的表面积为（ ） A． B． C． D．54 【答案】A 【详解】 解：因为正四面体的棱长为3， 所以正四面体的表面积为， 故选：A 题型二：柱锥台体积 1．（2021·全国高一课时练习）若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为（ ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】D 【详解】 设四棱锥的高为