专题4.1 幂函数（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（沪教版2020必修第一册）

专题4.1 幂函数 一、考情分析 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况； 2.理解幂函数的图象和性质，能用函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、考点梳理 知识点一 幂函数 (1)、幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)、常见的5种幂函数的图象 (3)、幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点2 幂函数的图像与性质 （1）、幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①、α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②、幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2 、 （2）、利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧： 结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较. 三、题型突破 重难点题型突破1 求幂函数的解析式 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 例1．（2021·济南·山东省实验中学高三月考）已知幂函数的图象过点，则（ ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】D 【分析】 设，然后将点代入可求出，从而可求出解析式，进而可求得的值 【详解】 由题意设， 因为幂函数的图象过点， 所以，得， 所以， 所以， 故选：D 【变式训练1-1】、（2021·巴楚县第一中学高三月考（理））己知幂函数的图象过点，则___________. 【答案】 【分析】 根据幂函数可得，将点代入解析式可得的值，即可求解. 【详解】 因为函数是幂函数，所以，所以 因为幂函数的图象过点， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 例2、（1）（2020·三亚华侨学校高一期中）（多选题）已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（ ） A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减 C．奇函数 D．定义域为 【答案】BC 【分析】 设幂函数，将代入解析式即可求出解析式，根据幂函数性质判断选项即可. 【详解】 设幂函数， 幂函数图象过点， ， ， 定义域为，满足，是奇函数，值域为，在定义域内不单调，在上单调递减. 故选：BC （2）．（2021·上海高一专题练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足的实数的值构成的集合为________. 【答案】 【分析】 根据函数为幂函数且为奇函数求得，然后解不等式即可得解. 【详解】 因为函数为幂函数，则，得或. 若，则为偶函数，不合乎题意； 若，则为奇函数，合乎题意. 所以，. 所以不等式可转化为，即，解得. 故答案为：. 【点睛】 易错点点睛：本题考查二次不等式的求解，解题的关键在于求出参数后，要结合函数的奇偶性对所求参数的值进行检验 【变式训练2-1】、（2020·河北衡水中学调研）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【答案】D 【解析】 由题意为幂函数，所以，解得或. 因为在上为增函数，所以，即，所以. 故选D. 【变式训练2-2】、（2020·陕西省高二期末（文））若函数是幂函数且在是递减的，则（ ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．3 【答案】A 【解析】 函数是幂函数且在是递减的， 则，解得． 故选：A． 重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用 例3．（1）、（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象如下图所示，则m的值为（ ） A．或0 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】 首先根据图象特征，可知，根据，确定的值，依次代入验证函数是否是奇函数. 【详解】 由幂函数在第一象限的单调性可得，，解得，再由可得，或或0．又从图象可知该函数是奇函数，若，则，符合题意；若，则，不合题意，若，则，符合题意，综上，或0． 故选A 【点睛】 本题考查幂函数的图象和基本性质，意在考查数形结合，和计算能力，属于基础题型. （2）、（2020·上海高一专题练习）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系. （1）；