专题08 函数的应用（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版）

专题08 函数的应用 一、考情分析 二、考点梳理 1、（1）．一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． （2）．一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 2、二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3、（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． （2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． （3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 【特别提醒】 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性. 三、题型突破 (一) 、分段函数模型的拟合问题 例1．（2021·广东·金山中学高一期中）某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）． （1）把利润表示为年产量的函数． （2）年产量为多少时，企业所得利润最大？ （3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？ 【答案】（1）；（2）475台；（3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本． 【分析】 （1）根据利润函数＝销售收入函数−成本函数，由此即可求出结果； （2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量的值； （3）要使企业不亏本，则利润，根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果． 【详解】 （1）设利润为y万元， 得 即 （2）显然当时，企业会获得最大利润， 此时，， ，即年产量为475台时，企业所得利润最大． （3）要使企业不亏本，则． 即或 得或，即． 即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本． 【点睛】 本题主要考查了分段函数的应用，属于基础题. 【变式训练1-1】．（2021·北京房山·高三开学考试）国家质量监督检验检疫局发布的相关规定指出，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于，小于的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于的驾驶行为. 一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且图中的函数模型为： ，假设某成年人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则的值为（ ） （参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】 由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于，所以，根据题意列不等式，解不等式结合即可求解. 【详解】 由散点图知，该人喝一瓶啤酒后个小时内酒精含量大于或者等于， 所以所求， 由，即， 所以，即， 所以， 因为，所以最小为， 所以至少经过小时才可以驾车， 故选：B. 【变式训练1-2】．（2021·全国·高一课前预习）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（ ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】 根据题意求得和的值，然后计算出的值即可得解. 【详解】 由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，， 所以，得． 又由知，，所以当时，， 故选：C． 【点睛】 本题考查分段函数模型的应用，求出和的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. (二)、二次函数模型的拟合问