24.3 正多边形和圆-2021-2022学年九年级上册数学【名校课堂】同步练习（人教版 河北专版）

河北专版（ＲＪ） １０９　　 ２４．３　正多边形和圆 ０１ 基础题 知识点１　认识正多边形 １．下列图形中，是正多边形的是 （Ｃ ） Ａ．矩形 Ｂ．菱形 Ｃ．正方形 Ｄ．等腰梯形 ２．如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内 角α的度数是 （Ｂ ） Ａ．２４０° Ｂ．１２０° Ｃ．６０° Ｄ．３０° 【变式】　一个正多边形的一个外角等于３０°，则这个 正多边形的边数为１２． 知识点２　与正多边形有关的计算 ３．（２０１９·成都）如图，正五边形犃犅犆犇犈内接于⊙犗， 犘为︵犇犈上的一点（点犘 不与点犇 重合），则∠犆犘犇 的度数为 （Ｂ ） Ａ．３０° Ｂ．３６° Ｃ．６０° Ｄ．７２° 第３题图 　　　 第４题图 ４．如图，正六边形犃犅犆犇犈犉 内接于⊙犗，正六边形的 周长是１２，则⊙犗的半径是 （Ｂ ） Ａ．槡３ Ｂ．２ Ｃ．２槡２ Ｄ．２槡３ ５．（教材Ｐ１０９习题Ｔ６变式）如图，用四根长为５ｃｍ的 铁丝，首尾相接围成一个正方形（接点不固定），要将 它的四边按图中的方式向外等距离移动犪ｃｍ，同时 添加另外四根长为５ｃｍ的铁丝（虚线部分）得到一 个新的正八边形，则犪的值为 （Ｄ ） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．５槡２ Ｄ． ５槡２ ２ 第５题图 　　　 第６题图 ６．（２０１９·徐州）如图，犃，犅，犆，犇 为一个外角为４０°的 正多边形的顶点．若犗为正多边形的中心，则∠犗犃犇 ＝３０°． ７．（２０１９·柳州）在半径为５的圆形纸片上裁出一个边 长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应 为５槡２． 【变式】　变式点：正方形→正三角形 （２０１９·衡阳）已知圆的半径是６，则圆内接正三角形 的边长是６槡３． 知识点３　画正多边形 ８．图１是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种 特殊的平面图形———正八边形． 如图２，犃犈是⊙犗的直径，用直尺和圆规作⊙犗的内 接正八边形犃犅犆犇犈犉犌犎（不写作法，保留作图痕 迹）． 解：如图． 易错点　考虑问题不全面导致漏解 ９．若犃犅是⊙犗内接正五边形的一边，犃犆是⊙犗的内 接正六边形的一边，则∠犅犃犆等于６°或１１４°． ０２ 中档题 １０．（２０１９·唐山滦南县一模）如图，若干个全等的正五 边形排成环状，图中所示的是前３个正五边形，要 完成这一圆环还需正五边形的个数为 （Ｄ ） Ａ．１０ Ｂ．９ Ｃ．８ Ｄ．７ １１．（２０２０·沧州青县二模）如图，犃犇 为⊙犗的直径，作⊙犗的内接正六边形，甲，乙两人 的作法分别如下： 甲：（１）作犗犃的垂直平分线，交⊙犗于犅，犉两点； （２）作犗犇 的垂直平分线，交⊙犗 于犆，犈 两点； （３）顺次连接犃，犅，犆，犇，犈，犉六个点，六边形即为 所求． １１０　　 河北专版（ＲＪ） 乙：（１）以犃 为圆心，犗犃 长为半径作弧，交⊙犗 于 犅，犉两点；（２）以犇 为圆心，犗犃 长为半径作弧，交 ⊙犗于犆，犈两点； （３）顺次连接犃，犅，犆，犇，犈，犉六个点，六边形即为 所求． 对于甲、乙两人的作法，可判断 （Ｄ ） Ａ．甲对，乙不对 Ｂ．甲不对，乙对 Ｃ．两人都不对 Ｄ．两人都对 １２．（２０１９·雅安）如图，已知⊙犗的内接 正六边形犃犅犆犇犈犉 的边心距犗犕＝２，则该圆的内 接正三角形犃犆犈的面积为 （Ｄ ） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６槡３ Ｄ．４槡３ 第１２题图 　　　 第１３题图 １３．【关注数学文化】（２０１９·孝感）刘徽是我国魏晋时 期卓越的数学家，他在注解《九章算术》时提出了 “割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近 似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形 的面积犛１来近似估计⊙犗的面积犛，设⊙犗的半径 为１，则犛－犛１＝０．１４．（π取３．１４） １４．（２０１９·保定一模）如图１，正三角形和正方形内接 于同一个圆；如图２，正方形和正五边形内接于同一 个圆；如图３，正五边形和正六边形内接于同一个 圆；…．则对于图１来说，犅犇 可以看作是正十二边 形的边长；若正狀边形和正（狀＋１）边形内接于同一 个圆，连接与公共顶点相邻同侧两个不同正多边形 的顶点所得的边可以看作是正狀（狀＋１）边形的边 长． ０３ 综合题 １５．【类比思想】如图１，２，３，…，犿，犕，犖 分别是⊙犗的 内接正三角形 犃犅犆，正方形犃犅犆犇，正五边形 犃犅犆犇犈，…，正狀边形犃犅犆犇犈犉…的边犃犅，犅犆上 的点，且犅犕＝犆犖，连接犗犕，犗犖． （１）求图１中∠犕犗犖 的度数． （２）图２中∠犕犗犖 的度数是９０°，图３中∠犕犗犖 的 度数是７２°． （３）试探究∠犕犗犖 的度数与正狀边形边数狀的关 系（直接写出答案）． 解：（１）连接犗犃，犗犅． ∵正三角形犃犅犆内接于⊙犗， ∴犗犃＝犗犅，∠犗犃犕＝∠犗犅犖＝３０°，∠犃犗犅＝１２０°． ∵犅犕＝犆犖，犃犅＝犅犆，