【中原名校大联考】2019-2020学年高一上学期数学期中测评试卷

１　　　　 ２０１９—２０２０ 学年上学期高一年级期中测试 数学　 参考答案 一、选择题：本题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，共 ６０ 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． １． Ｃ　 ２． Ｃ　 ３． Ａ　 ４． Ｄ　 ５． Ｂ　 ６． Ｃ　 ７． Ｂ　 ８． Ｄ　 ９． Ａ　 １０． Ｂ　 １１． Ｃ　 １２． Ｂ 二、填空题：本题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分． １３． （３，３）　 １４． （０，ｅ］　 １５． ± ２　 １６． （０，４）∪（１６， ＋ ∞ ） 三、解答题：共 ７０ 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １７． 解：（１）Ａ∩Ｂ ＝ ｛ｘ ｜ １ ＜ ｘ ＜ ３｝ ． （３ 分） ∁ＲＡ ＝ ｛ｘ ｜ － ４≤ｘ≤１｝，∴ （∁ＲＡ）∪Ｂ ＝ ｛ｘ ｜ － ４≤ｘ ＜ ３｝ ． （６ 分） （２）∵ Ｂ⊆Ｃ，∴ ａ≥３． （１０ 分） １８． 解：（１）原式 ＝ ３１０ æ è ç ö ø ÷ ３ [ ] － １３ ＋ ２ ３ ２( ) ４ ３ － １３ ＋ １ ＝ １０３ ＋ ４ － １ ３ ＋ １ ＝ ８． （６ 分） （２）原式 ＝ ３２ ｌｏｇ６３ ＋ ｌｏｇ６２ － ｌｏｇ６７ ＋ ｌｏｇ６２７ ２ ＋ ｌｏｇ６２２ ＋ ３ ｌｏｇ３ １ ２ ＝ ３２ ｌｏｇ６３ ＋ ｌｏｇ６２ － ｌｏｇ６７ ＋ ｌｏｇ６７ ＋ １ ２ ｌｏｇ６２ ＋ １ ２ ＝ ３２ （ｌｏｇ６３ ＋ ｌｏｇ６２） ＋ １ ２ ＝ ２． （１２ 分） １９． 解：（１）∵ ｆ（ｘ） ＋ ２ｆ（ － ｘ） ＝ ３ａｘ２ － ２ｘ ，① ∴ ｆ（ － ｘ） ＋ ２ｆ（ｘ） ＝ ３ａｘ２ ＋ ２ｘ ，② （３ 分） 由①②可解得 ｆ（ｘ） ＝ ａｘ２ ＋ ２ｘ ． （６ 分） （２） ｆ（ｘ）的定义域为（ － ∞ ，０）∪（０， ＋ ∞ ） ． 当 ａ ＝ ０ 时，ｆ（ｘ） ＝ ２ｘ ，ｆ（ － ｘ） ＝ ２ － ｘ ＝ － ２ ｘ ＝ － ｆ（ｘ），∴ ｆ（ｘ）为奇函数； （９ 分） 当 ａ≠０ 时，ｆ（ｘ） ＝ ａｘ２ ＋ ２ｘ （ａ≠０，ｘ≠０），ｆ（ － １） ＝ ａ － ２，ｆ（１） ＝ ａ ＋ ２， ２　　　　 ∴ ｆ（ － １）≠ｆ（１），ｆ（ － １）≠ － ｆ（１），∴ ｆ（ｘ）既不是奇函数，也不是偶函数． （１２ 分） ２０． 解：（１）由函数 ｙ１ 的图象过点（０，０），（５，１）得 ２ｍ ＋ ａ ＝ ０ ３ｍ ＋ ａ ＝ １{ ，所以 ｍ ＝ １ ａ ＝ － ２{ ． （２ 分） 由函数 ｙ２ 的图象过点（０，０），（５，１）得 ５ｂ ＝ １，所以 ｂ ＝ １ ５ ． （４ 分） 所以函数 ｙ１，ｙ２ 的解析式分别为 ｙ１ ＝ ｘ ＋ ４ － ２，ｙ２ ＝ １ ５ ｘ． （５ 分） （２）设投资甲产品 ｘ 万元，则投资乙产品（５ － ｘ）万元，０≤ｘ≤５， （６ 分） 则总收益 ｙ ＝ ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ ｘ ＋ ４ － ２ ＋ １ ５ （５ － ｘ） ＝ ｘ ＋ ４ － １ ５ ｘ － １， （８ 分） 设 ｘ ＋ ４ ＝ ｔ（２≤ｔ≤３），则 ｙ ＝ ｔ － １５ （ ｔ ２ － ４） － １ ＝ － １５ ｔ ２ ＋ ｔ － １５ ＝ － １ ５ ｔ － ５ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ２１２０， 所以当 ｔ ＝ ５２ ，即 ｘ ＝ ９ ４ 时，总收益最大，为 ２１ ２０万元． （１１ 分） 答：投资甲产品 ９４ 万元，投资乙产品 １１ ４ 万元时，能使一年的投资获得最大收益 ２１ ２０万元． （１２ 分） ２１． 解：（１）当 ａ ＝ １ 时，ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ｘ ＋ １，其图象的对称轴为 ｘ ＝ １２ ， 即 ｆ（ｘ）在 － ５， １２[ ]上是递减的，在 １ ２ ，５[ ]上是递增的，所以 ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｆ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ＝ ３４ ． 而 ｆ（ － ５） ＝ ３１，ｆ（５） ＝ ２１，即 ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ｆ（ － ５） ＝ ３１，故函数 ｆ（ｘ）的值域为 ３ ４ ，３１[ ]． （４ 分） （２）易知 ｆ（ｘ）图象的对称轴为 ｘ ＝ ａ２ ． ①当 ａ２ ≤ －５，即 ａ≤ －１０ 时，ｆ（ｘ）在［ － ５，５］上是递增的，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｆ（ － ５） ＝ ２６ ＋ ５ａ； （７ 分） ②当 － ５ ＜ ａ２ ＜ ５，即 － １０ ＜ ａ ＜ １０ 时， ｆ（ｘ）在 － ５， ａ２ æ è ç ö ø ÷上是递减的，在 ａ２ ，５ æ è ç ö ø ÷上是递增的，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｆ ａ ２ æ è ç ö ø ÷ ＝ １ － ａ ２ ４ ； （９ 分） ③当 ａ２ ≥５，即 ａ≥１０ 时，