第3章 勾股定理(培优练习)-【多维练】2021-2022学年八年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

勾股定理(培优练习) 1．（2021•城固县二模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】先证明△ABC是直角三角形，求出其面积，再拆成以CD为底边的两个三角形，根据面积来求CD． 【详解】解：根据题意由勾股定理得： AC＝＝，AB＝＝5，BC＝＝2， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴AC⊥BC， ∴S△ABC＝＝5， ∵S△ABC＝S△BCD+S△ACD， ∴S△ABC＝＝5， 解得：CD＝， 故选：C． 2．（2021•柘城县模拟）如图，直线MN∥PQ，等腰直角三角板ABC的底角顶点A落在PQ上，直角顶点C落在MN上，若∠BCM＝10°，则∠PAB的度数为（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 【分析】先根据△ABC是等腰直角三角形可得∠B＝45°，由三角形外角的性质得∠BDM＝10°+45°＝55°，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∵∠BCM＝10°， ∵∠BDM＝∠B+∠BCM， ∴∠BDM＝10°+45°＝55°， ∵MN∥PQ， ∴∠PAB＝∠BDM＝55°． 故选：D． 3．（2021秋•牡丹区月考）在△ABC中，AB＝25，AC＝17，BC上的高AD长为15，则△ABC的面积为（　　） A．210 B．90 C．210或90 D．84或120 【分析】分二种情况：△ABC为锐角三角形；△ABC为钝角三角形，根据AD垂直于BC，利用垂直的定义得到△ABD与△ADC为直角三角形，利用勾股定理分别求出BD与DC，由BD+DC＝BC或BD﹣DC＝BC求出BC，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积． 【详解】解：分两种情况考虑： ①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，AB＝25，AD＝15， 根据勾股定理得：BD＝＝20， 在Rt△ADC中，AC＝17，AD＝15， 根据勾股定理得：DC＝＝8， ∴BC＝BD+DC＝20+8＝28， 则S△ABC＝BC•AD＝210； ②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，AB＝25，AD＝15， 根据勾股定理得：BD＝＝20， 在Rt△ADC中，AC＝17，AD＝15， 根据勾股定理得：DC＝＝8， ∴BC＝BD﹣DC＝20﹣8＝12， 则S△ABC＝BC•AD＝90． 综上所述，△ABC的面积为210或90， 故选：C． 4．（2021•雁塔区校级模拟）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为（　　） A．1 B．4 C．6 D．9 【分析】由勾股定理可求解直角三角形的较长的直角边，进而可求得小正方形的边长，即可求解面积． 【详解】解：由勾股定理可得：较长的直角边的边长为：， ∴空白小正方形的边长为4﹣3＝1， ∴空白小正方形的面积为1． 故选：A． 5．（2021秋•新华区校级月考）如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为（　　） A．4.8km B．9.6km C．2.4km D．5km 【分析】首先利用勾股定理逆定理得到∠ABC＝90°，然后过B作BD⊥AC，垂足为D，根据垂线段最短可得BD为学校B到公路的最短距离，然后利用面积相等求得BD的长． 【详解】解：过B作BD⊥AC，垂足为D， ∵62+82＝102， ∴BC2+AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∵S△ACB＝AB•CB＝AC•BD， ∴×6×8＝×10×DB， 解得：BD＝4.8， ∴学校B到公路的最短距离为4.8km， 故选：A． 6．（2020秋•镇江期末）已知跷跷板长为3.9米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为3.6米，此时较高端点距离地面的高度等于 　1.5　米． 【分析】设较高端点距离地面的高度为h米，此时，跷跷板长即为直角三角形的斜边长，两端端点在水平方向的距离的最小值即为一条直角边长，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：设较高端点距离地面的高度为h米， 根据勾股定理得：h2＝3.92﹣3.62＝2.25， ∴h＝1.5（米）， 故答案为：1.5． 7．（2021秋•沙坪坝区校级月考）为维护海洋权益，中国海监定期开展维权执法．某时刻，两般