专题08 与线段有关的动点问题-【压轴必考】2021-2022学年七年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题08 与线段有关的动点问题 类型一、求值问题 例.如图，点C在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若已知线段，点C是线段的“巧点”，则=__________． 【答案】或或10 【解析】当点C是线段的“巧点”时，可能有、、 三种情况， ①时，， ②时，， ③时，． 故答案为：，或10． 【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）； （2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”． 【答案】是 7.5或 【解析】（1）若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点” （2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t， ①Q为AP中点，，∴t＝7.5； ②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15， ∵AQ＝2PQ，∴15﹣t＝2（3t﹣15），∴； ③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），∴t＝97.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或． 故答案为：（1）是；（2）7.5或． 【变式训练2】如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______． 【答案】1或 【解析】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m 则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t， ∴AC=-t-a，OD=b-4t， 由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a， ①若点M在点B的右侧时，如图1所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a； ∴ ②若点M在线段BO上时，如图2所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b； ∴ ③若点M在线段OA上时，如图3所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即： ∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去； ④若点M在点A的左侧时，如图4所示： 由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0， 因此，不符合题意舍去， 综上所述，的值为1或． 类型二、证明定值问题 例.如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析 【解析】（1）由，，， 得，，所以，； （2）当点在点的右侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点，， 所以，， 又因为， 所以， 当点在点的左侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点， 所以，， 所以 所以． 综上，线段的长为9； （3）②正确，且．理由如下： 因为点与点重合，所以， 所以，所以， 所以． 【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4． （2）由题意，①∵AB=12，CD=4， ∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD ∴MN=CM+CD+DN=AC +CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8； ②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a， 依题