专题20 灵活应用三法搞定三角函数的最值-备战2022年高考数学之学会解题必备方法技巧规律（全国通用）

· 方法20 灵活应用三法搞定三角函数的最值 基本原理 方法 解读 适合题型 典例指引 图象法 首先利用三角公式将原函数化简整理为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,然后借助题目中给定的x的范围,确定ωx+φ的范围,最后利用y=sin x的图象确定函数的值域 求函数 y=asin x+b, y=asin x+bcos x+c, y=asin2x+bsin x·cos x+ccos2x的最值问题 例1 换元法 首先借助三角公式,把函数化成y=f(sin x)型,然后采用换元法,即令t=sin x∈[-1,1],构造关于t的函数,然后根据具体的结构,采取相应的方法求解 求函数 y=asin2x+bsin x+c, y=a·sin xcos x +b·(sin x±cos x)+c 最值的问题 例2 几何法 需分析函数解析式的结构特征,看能否转化为有几何含义的式子结构,有时也可以把函数图象画出来,直接观察确定函数的值域 将y=转化为斜率问题 例3 典型例题精选与变式 典型例题 自主解析 体会方法 例1【山西省怀仁市第一中学2022届高三上学期第三次月考】已知向量，， （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的取值范围. 解：（1）由题设知，，， ，则最小正周期为， 由， 得， 的单调递增区间为. （2）由（1）知当时，， 当， 即时，单调递增， 当，即时，单调递减， 又，，， 在区间上的取值范围是. 【方法】图象法 例2【重庆市秀山高级中学2022届高三上学期10月月考】已知命题p：为真，则实数m的取值范围__________. 解：，在开口向上，对称轴为，在时当时取得最大值为2， 所以实数m的取值范围， 故答案为： 【方法】换元法 例3【北京市大兴区兴华中学2022届高三9月月考】函数y=的最大值为　　　　　. 解：解析式表示过A(cos x,sin x),B(3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k,则直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,=1,∴k=,∴kmax=. 【方法】几何法 最新模拟精选与提高 精选练习 自主解析 体会应用 1．【广东省2021届高三一模】函数的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 解：函数 ， 由于， 故，由于函数的对称轴为， 当时，取得最大值， 故选：B 【方法】整体代入法 2．【2021年浙江省新高考考前原创冲刺卷】将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则在区间上的最小值为（ ） A．0 B． C． D． 解：将函数的图象先向右平移个单位长度,得的图象,再将所得图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,得的图象.当时,,因此当,即时,取得最小值. 故选：D. 【方法】图象法 3.已知函数，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 解：化简函数得， 所以当时，函数的最大值为. 故选：A 【方法】图象法 4．【黑龙江省大庆实验中学实验三部2020-2021高三质检】已知函数，则在区间上（ ） A．既有最大值，又有最小值 B．有最大值，没有最小值 C．有最小值，没有最大值 D．既没有最大值，也没有最小值 解： ， 根据余弦型函数的图象与性质：，无最小值. 故选：B 【方法】图象法 5．【福建省福州市2021高三模拟】函数的图象与图象关于点对称，则当时，的值域为（ ） A． B． C． D． 解：由题意函数的图象与图象关于点对称, ∴满足,∴, 当时,∴,∴. 故选：A. 【方法】图象法 6.已知函数的最小正周期为，的图象关于轴对称，且在区间上单调递增，则函数在区间上的值域为（ ） A． B． C． D． 解：由题可知，函数， 则， 由于的最小正周期为， ， ， 又已知的图象关于轴对称， ，，则， 在区间上单调递增， 可以令，此时， 则函数， 所以在区间上，则，， 得，，所以，， 即的值域为，. 故选：A． 【方法】图象法 7.【青桐鸣2022届高三上学期10月大联考】函数的最大值为（ ） A． B．3 C． D．4 解：根据题意，设， 则， 则原函数可化为，， 所以当时，函数取最大值. 故选：C. 【方法】换元法 8．【上海市建平中学2022届高三上学期10月月考】设r，满足，则r的取值范围是______． 解：将配方得， 设，，得： ， 又因为，，