核心考练9 用空间向量研究夹角问题-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册

核心考练9 用空间向量研究夹角问题 1、 单选题 1.设平面α与平面β的夹角为θ,若平面α,β的法向量分别为n1,n2,则cos θ=(　　) A. B. C. D. 【答案】B　 【解析】由两个平面的夹角概念知,cos θ==,故选B. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B　 【解析】以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A1(0,0,1),E,D(0,1,0), ∴=(0,1,-1),=. 设平面A1ED的法向量为n1=(x,y,z),则有即令x=1,得∴n1=(1,2,2). 易得平面ABCD的一个法向量n2==(0,0,1),∴|cos<n1,n2>|==, 即平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为. 3.正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C　 【解析】连接BD,AC,交于点O,连接OS,则SO⊥平面ABCD,OA⊥OB,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0),C(-,0,0),S(0,0,),所以=(0,,-),=(-,0,-),设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),则由n⊥,n⊥,得令z=1,得x=-1,y=1,所以n=(-1,1,1).又=(-2,0,0),设直线AC与平面SBC所成角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===.故选C. 4.（2020·安徽合肥七中高二周测）如图，在长方体中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1和DM所成角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【解析】以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图, 设,则,, , 因为,所以,即有. 因为,所以,即异面直线和所成角为.故选D. 5.已知菱形ABCD中,∠ABC=60°,沿对角线AC折叠之后,使得平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为(　　) A.2 B. C. D. 【答案】D　 【解析】设菱形ABCD的边长为1,取AC的中点O,连接BO、DO,