第五章 三角函数 专题2 配凑法求三角函数值-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第5章 三角函数 专题2 配凑法求三角函数值 三角恒等变换求值常用的方法有：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.。三角函数求值有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 利用诱导公式求三角函数值 例1：（2021·渝中·重庆巴蜀中学）已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， 则 ， ∴ ， 故选：B. 【变式1】（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））当 时，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B 【变式2】（2021·江西九江一中高一期中）已知 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ∵ ， ， ∴由诱导公式可得， ， 故选：B. 【变式3】（2021·全国高一课时练习）已知 ，则 _________． 【答案】 【详解】 ， 因为 ，所以 ， 又 ， 所以 ， 所以原式 ． 故答案为： . 【痛点直击】利用诱导公式求三角函数值，要考虑所求的角与已知角的关系，一般考虑和、差与 的关系，然后选择合适的诱导公式求值，或用“奇变偶不变，符号看象限”的原则，利用诱导公式求值。 类型二 已知三角函数值求值 例2.（2021·全国）已知 ， ， ，则 ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ，则cos( )＝ ， ∵ ， ∴sin( )＝ ． ＝cos( )cos( )+sin( )sin( ) ＝ ． 故选：C． 【变式1】（2021·新和县实验中学高一期末）若 ，且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 故选：D 【变式2】已知 ，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题设， ， ， ∴ ， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 . 故选：C 【变式3】（2021·鹤庆县第一中学高一期末）设 为锐角，若 ，则 的值为____________. 【答案】 【详解】 为锐角， ， . . 故答案为： 【痛点直击】解决已知三角函数值求值问题，要考虑角的关系（2倍关系或和差与特殊角的关系），然后选择合适的公式求值。 类型三 已知三角函数值求角问题 例3.（2021·江苏鼓楼·南京师大附中高一期末）已知 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ，若 ，则 ＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：因为 若 ，则 ，即 ， ，则 ，所以 ， ，即 又 ，所以 . 故选：C 【变式1】．（2021·江苏高一课时练习）已知α∈（0， ），β∈（﹣π， ），sinα ，cosβ ，则α+2β的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由于α∈（0， ），sinα ，所以 ， 由于β∈（﹣π， ），cosβ ，所以 . 所以 ， ，所以 ， 由于α∈（0， ），β∈（﹣π， ）， 所以 ， 由于tan（α+2β） ， 所以 . 故选：D. 【变式2】（2021·南京市第十四中学）若 ， ，且 ， ，则 的值是（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【详解】 ∵ ，∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ， . ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ . 又∵ ， ∴ . 故选：A. 【变式3】（2020·浙江杭州·高一期末）已知 ， ，且 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由 ， ， ，可得 . 又 ， ，且 ， ， 所以 ， . 所以 . 因为 ，所以 所以 . 故选：C. 【痛点直击】已知三角函数值求角问题，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有： ， ， 等，解决这类问题的关键要熟记三角函数的公式。 【限时训练】 1．（2021·全国高一课时练习）已知 ，那么 （