第五章 三角函数 专题1 求任意角三角函数值-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第5章 三角函数 专题1 求任意角三角函数值 利用任意角的三角函数的定义解决有关任意角的三角函数值问题，可取终边上一点，利用坐标可表示角的三角函数值或可求有关参数的值。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 用角的终边上的点求角的三角函数值 例1：（2021·广东）已知 ，且 的终边与单位圆交点的纵坐标为 ，则 的值为（ ） A． B．－ C． D．－ 【答案】A 【详解】 ∵ ，且 的终边与单位圆交点的纵坐标为 ， ∴ ， ∴ . 故选：A. 【变式1】（2021·江西新余四中）已知角 终边经过点 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意，角 终边经过点 ，可得 ， 又由 ，根据三角函数的定义，可得 且 ，解得 . 故选：C. 【变式2】（2021·上海高一专题练习）若角 的终边经过点P(3m，-4m)(m<0)，则sin +cos =_____. 【答案】 【详解】 由题意得： 则 ， 故 故答案为： 【变式3】（2021·上海市实验学校高一期中）已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 . （1）求 的值； （2）若角 满足 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 或 . 【详解】 （1）由角 的终边过点 得 ， （2）由角 的终边过点 得 ， 由 可得 . 当 时， ； 当 时， . 所以 或 . 【痛点直击】角的终边上点为（x,y），则 。 类型二 已知角的终边所在直线求角的三角函数值 例2.（2021·全国）已知角 的终边上的点 满足 ，则 的值为_________． 【答案】 【详解】 因为角 的终边上的点 满足 ， 当角 在第一象限时，在终边上取点 ， 则 ， 所以 ； 当角 在第三象限时，在终边上取点 ， 则 ， 所以 ， 综上： ， 故答案为： 【变式1】已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边在射线 上. （1）求 的值； （2）化简并求值： 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 取角 的终边 上一点 ，则 ， 所以 ， ， （1） ， （2） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 【变式2】（2021·广西梧州·蒙山中学高一月考）已知角 的终边在直线 上． （1）求 的值； （2）求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 解: （1）在角 的终边在直线 上．任取点 ，则 故 （2）原式 【变式3】（2021·全国）在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα－3cosα＋tanα的值. 【答案】－ 或 . 【详解】 当角α的终边在射线y＝－ x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)， 所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5， 所以sinα＝ ＝ ＝－ ，cosα＝ ＝ ， tanα＝ ＝－ . 所以sinα－3cosα＋tanα＝－ － － ＝－ . 当角α的终边在射线y＝－ x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)， 所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5， 所以sinα＝ ＝ ，cosα＝ ＝－ ， tanα＝ ＝－ . 所以sinα－3cosα＋tanα＝ －3× － ＝ ＋ － ＝ . 综上，sinα－3cosα＋tanα的值为－ 或 . 【痛点直击】解决此类问题，要注意角的终边是一条射线，当终边在一条直线上时，要分两种情况来讨论。在坐标上取一点，然后任意角的三角函数定义即可求得。 类型三 由三角函数值求参数的值或终边上的点 例3.（2021·江西景德镇一中）已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意 ，所以 ，则 ，解得 ． 故选：A． 【变式1】（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）已知点 在角 的终边上，且 . （1）求 和 的值； （2）求 的值. 【答案】（1） ， ；（2） . 【详解】 （1）由三角函数的定义可得 ，则 ，解得 ， 所以， ； （2）由三角函数的定义可得 ， 所以， . 【变式2】（2021·全国）已知角 的终边上一点 ，且 ，求 值. 【答案】 或 . 【详解】 解：依题意有： 即： 解得： 或 即 或 【变式3】（2021·湖北武汉·高一期中）已知角 的终边经过点 ， 且 为第二象限角. （1）求实数 和 的值； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） ， ；（2） . 【详解】 （1）由三角函数定义可知 ，解得 ， ∵ 为第二象限角，∴ ，所以 ． （2）由（1）知 ， EMBED Equation.DSMT4