黑龙江省肇东市第四中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

一、选择题（每小题5分，共60分） 1．已知向量 ， ，且 ，则实数 等于（ ） A．1 B． C． D． 2.已知点 ， ，则线段 的中点 关于平面 对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3.已知空间向量 两两夹角均为 ，其模均为1，则 （ ） A． B． C．2 D． 4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A． B． C． D． 5．若p： ， ， 是三个非零向量； ： ， ， 为空间的一个基底，则p是q的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.下列命题正确的是（ ） A．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线 B．向量 ， ， 共面，即它们所在的直线共面 C．若空间向量 ， ， 不共面，则 ， ， 都不为 向量 D．若 ， ， 共面，则存在唯一的实数对（x，y），使得 7．一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有一个红球的概率为（　　） A． B． C． D． 8.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有 不会感染这种病毒，若有 人接种了这种疫苗，则最多 人被感染的概率为（ ） A． B． C． D． 9.设 是正三棱锥， 是 的重心， 是 上的一点，且 ，若 ，则 （ ）． A． B． C． D． 10.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 ，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A． B． C． D． 11.已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 12.在长方体 中， ， ，点 在线段 上，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二填空题（每小题5分，共20分） 13..已知2,4,2 ,4 四个数的平均数是5, 而5,7,4 ,6 四个数的平均数是9,则xy的值是___________. 14抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是________． 15.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为__________． 16.平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 ，则 的长为___________；异面直线 与 夹角的余弦值为___________． 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤） 17.如图所示，在长方体 中， ， ， 、 分别 、 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 . 18.已知 ， ， ， ， . （1）求实数 ， ， 的值； （2）求 与 夹角的余弦值. 19.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段： 后得到如下频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，分别求 ，众数，中位数． （2）估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分． （3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在 分数段抽取的人数是多少？ 20. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 在棱 上， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点， 与 相交于点 （1） 求证： 平面 （2） 求证：平面 平面 ； （3） 求平面 与平面 的距离. 21.乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 ·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求 （1）“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率; （2） “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率; （3） “星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率; 22.如图所示，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， . （1）求证： 平面 ； （2）求 与平面 所成的角正弦值. 一.选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3