辽宁省沈阳市郊联体2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

2021—2022学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高二试题 数学答案 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．D 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，全部选对得5分,部分选对得2分,错选或者多选的不得分，共20分 ） 9．AD 10．BC 11．ABC 12．ABD 三、填空题(本大题共4个小题,每题5分,其中14题第一空2分,第二空3分,共计20分) 13． 14． 15．2 16．12 四、解答题 (方法不唯一，酌情给分） 17（本小题满分10分）． 解：（1） 因为 ， ， ，即 ； ………………5分 （2） . ………………10分 18．（本小题满分12分）． 解：（1）由 和 得：， 中点 四边形 为菱形 ， ， ………………4分 且 为 中点， 对角线 所在直线方程为： ， 即： ………………6分 （2）由 ，解得： ………………10分 直线 的方程为： ，即： ………………12分 19．（本小题满分12分）． 解：∵四边形 为菱形， ， 又 面 ， ， ， 两两垂直， ∴以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， 根据题可知 ， ， ，且 为 中点， ， ， ， ， ， ， ………………2分 （1） ， ， ， 设面 的法向量为 ， ， ， ，令 ，则 ， ， ………………6分 ， ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………………8分 （2）由（1）可知 ，面 的一个法向量为 ， ∴点 到平面 的距离 ， ∴点 到平面 的距离为 ． ………………12分 20．（本小题满分12分）． 解：(1)由题意得: , 解得: 即轨迹E的方程为 ………………4分 (2)记 ， 故可设 的方程为 由 消去 得 ， 所以 ………………8分 设直线 与 轴交于点 . ………………12分 21．（本小题满分12分）． 解：（1）证明：因为 ，且 为线段 的中点，所以 ，又 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，平面 平面 ，所以 . 又平面 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， ， 平面 平面 ， 所以 平面 ， 所以 平面 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，所以 . ………………5分 （2）存在， 为棱 上靠近 点的三等分点; 因为 ， 为线段 的中点，所以 ， 又平面 平面 ，所以 平面 . 如图，以 为坐标原点， ､ ､ 的方向为 ， ， 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， 设 ，得 ，所以 ，………………8分 设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，可得 ， 平面 的一个法向量 ， ………………10分 则 ； 解得 或 (舍去)， 故 为棱 上靠近 点的三等分点. ………………12分 22．（本小题满分12分）． 解：（1）设圆心 ， ∵直线 ： ，半径为2的圆 与 相切， ∴ ，即 ， 解得： 或 （舍去）， 则圆 方程为 ； ………………4分 （2）当直线 轴，则 轴必平分 ， 此时 可以为 轴上任一点，