4.1.2 第1课时 乘法公式-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.1.2　乘法公式与全概率公式 第1课时　乘法公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握乘法公式及其推广．(重点) 2．会用乘法公式及全概率公式求相应事件的概率．(难点) 1．通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养． 2．借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养. 小明在登陆电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9中的任意一个． 问题：他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？ 乘法公式及其推广 (1)乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0. (2)乘法公式的推广： 设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0， 则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)． 其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1A2A3同时发生的概率． 思考：P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之间存在怎样的等量关系？ [提示]　P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0. 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(AB)＝P(BA)． (　　) (2)P(AB)＝P(A)P(B)． (　　) (3)P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)，其中P(A1)＞0，P(A2A1)＞0，P(A1A2A3)＞0. (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知P(B|A)＝，则P(AB)等于(　　) ，P(A)＝ A.　　　　 B. C. D. C　[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝，故选C.]＝× 3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　) A. B. C. D. A　[记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝.]，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝，P(B|A)＝ 4．若P(B|A)＝|A)＝________. ，则P( .]＝|A)＝1－P(B|A)＝1－　[P( 乘法公式及其应用 【例1】　一袋中装10个球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率． [解]　设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”. 由题设知P(A1)＝，，P(A2|A1)＝ 于是根据乘法公式， 有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝. ＝× 1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率． [解]　用A表示第一次取得黑球，则P(A)＝， 用B表示第二次取得白球，则P(B|A)＝. 故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.＝× 2．(变结论)在本例条件不变的情况下，两次均取得白球的概率． [解]　用Bi表示第i次取得白球，i＝1,2，则B1B2表示两次取到的均是白球．由题意得P(B1)＝.，P(B2|B1)＝ ∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝.＝× 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB(不好计算时，可先求出P(A(及P(B|A(或先求出P(B(及P(A|B(，再利用乘法公式P(AB(＝P(A(P(B|A(＝P(B(P(A|B(求解即可. 乘法公式的推广及应用 【例2】　设某光学仪器厂制造的透镜， 第一次落下时打破的概率为. 试求透镜落下三次而未打破的概率． ， 若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为， 若第一次落下未打破， 第二次落下打破的概率为 [解]　以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝3，故有21 P(B)＝P(.＝2)＝13|1)P(2|1)P(3)＝P(21 该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)求解． 1．在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率．(结果保留两位有效数字) [解]　设Ai表示“第i次取得次品”(i＝1,2,3)，B表示“第三次才取到次品”，则 B＝2A3，1 ∴P(B)＝P(1)·2|1)·P(2A3)＝P(1 P(A3|≈0.046.××2)＝1 乘法公式的综合应用 [探究问题] 1．P(B|A)与P(|A)存在怎样的等量关系？ [提示]　P(B|A)＋P(|A)＝1. 2．若A1，A2，A3是互斥事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，则A1∪A2∪A3的对