4.1.2 乘法公式与全概率公式（word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版)

＝. ＝＋ 故所求的概率为. 4.1.2　乘法公式与全概率公式 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解并掌握乘法公式． 2．熟练掌握全概率公式及贝叶斯公式． 3．会用乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式解决一些实际问题. 通过对乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理的核心素养. 一、乘法公式 根据事件A发生的概率P(A)，以及事件A发生的条件下事件B发生的概率P(B|A)，可以求出事件A与事件B同时发生的概率P(BA)，即P(BA)＝P(A)P(B|A).一般地，这个结论称为乘法公式． 二、全概率公式 1．一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，且A⊆Ω，B⊆Ω，则BA与B).这称为全概率公式． )P(B|)>0时，由乘法公式有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()．更进一步，当P(A)>0且P()＝P(BA)＋P(B是互斥的，且P(B)＝P(BA＋B 2．若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(Ai)P(B|Ai). (BAi)＝ 上述公式也称为全概率公式． 三、贝叶斯公式 1．一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，且A⊆Ω，B⊆Ω，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有P(A|B)＝.这称为贝叶斯公式． ＝ 2．若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝. ＝ 上述公式也称为贝叶斯公式． 3．在贝叶斯公式中，称P(Ai)是试验之前就已知的概率，称为先验概率，P(Ai|B)称为后验概率． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)全概率公式P(B)＝(Ai)P(B|Ai)中的事件B只能是一个单一的事件．(　　) (2)P(C|A)和P(A|C)是两个相同的概念．(　　) (3)P(C|A)和P(A|C)是两个不同的概念．(　　) (4)在贝叶斯公式中，称P(Ai)是试验之前就已知的概率，称为先验概率，称P(Ai|B)为后验概率．(　　) 提示　对(1)，全概率公式P(B)＝(Ai)P(B|Ai)中的事件B，可以是一个单一的事件，也可以是一些事件运算后的一个事件．对(2)，(3)，P(C|A)和P(A|C)是两个不同的概念，它们之间并没有大小可以比较．对(4)，正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)√ 2．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别是总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为(　　) A．0.012 3　　 B．0.023 4　　 C．0.034 5　　 D．0.045 6 C　[本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5．] 3．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为.某天每天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为____________． ；否则，第一件产品合格的概率为.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为 .]＝＝，因此由贝叶斯公式可知P(A|B)＝)＝，从而P()＝，P(B|，P(B|A)＝　[用A表示生产线初始状态良好，B表示第一件产品是合格品，则P(A)＝ 探究一　乘法公式的应用 在某大型商场促销抽奖活动中，甲、乙两人先后进行抽奖前，还有60张奖券，其中有6张中奖奖券．假设抽完的奖券不放回，甲抽完以后乙再抽，求： (1) 甲中奖而且乙也中奖的概率； (2)甲没中奖且乙中奖的概率． 解　法一：设A：甲中奖，B：乙中奖， 则P(A)＝， )＝，P(，P(B|A)＝＝ P(B|， )＝ (1)甲中奖而且乙也中奖的概率P(BA)＝P(A)P(B|A)＝. ＝× (2)甲没中奖且乙中奖的概率P(B. ＝×)＝)P(B|)＝P( 法二：(1)甲中奖而且乙也中奖的概率为. ＝＝ (2)甲没中奖且乙中奖的概率为.＝＝ [变式]　本例已知条件不变，求乙中奖的概率． 解　P(B)＝P(BA＋B.＝＋)＝)＝P(BA)＋P(B [方法总结]　　在P(B|A)，P(BA)，P(A)这三者中，如果已知P(A)，P(B|A)，那么可以由P(BA)＝