4.1.1 条件概率-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.1　条件概率与事件的独立性 4.1.1　条件概率 学 习 目 标 核 心 素 养 1．在具体情境中，了解条件概率．(难点) 2．掌握条件概率的计算方法．(重点) 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(易错点) 1．通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养． 2．借助条件概率公式解题，提升数学运算素养. 高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． 问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ 问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？ 1．条件概率 定义 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率 表示 P(A|B) 计算 公式 P(A|B)＝ 思考：P(A|B)与P(B|A)相同吗？ [提示]　不同，前者是事件B发生的条件下事件A发生的概率，而后者是事件A发生的条件下事件B发生的概率． 2．条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)＝1； (3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1. (　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生． (　　) (3)P(B|A)≠P(A∩B)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，则P(B|A)＝(　　) ，P(A)＝ A.　　　D.　　　C.　　　B. A　[由P(B|A)＝，故选A.]＝＝ 3．(教材P43例3改编)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________． 0.5　[根据条件概率公式知P＝＝0.5.] 4．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________． .　[法一：在第一次取到不合格以后，由于不放回，故还有99件产品，其中4件次品，故第二次再次取到不合格产品的概率为 法二：第一次取到不合格的概率为P1＝，＝ 两次都取到不合格品的概率为P2＝.＝ ∴所求概率P＝.]＝＝ 利用定义求条件概率 【例1】　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B. (1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率； (2)求P(B|A)． [思路点拨]　首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解． [解]　由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)＝， P(B)＝，＝＝ P(A∩B)＝.＝ (2)P(B|A)＝.＝＝ 1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(A∩B)； (3)代入公式求P(B|A)＝. 2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系． 1．(一题两空)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________. .]＝，P(B|A)＝＝　[由公式P(A|B)＝　 利用基本事件个数求条件概率 【例2】　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． [思路点拨]　第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解． [解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30， 根据分步计数原理n(A)＝A.＝＝＝20，于是P(A)＝A (2)因为n(A∩B)＝A.＝＝＝12，于是P(A∩B)＝ (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝.＝＝ 法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝.＝＝ (