3.3.2 二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

第2课时　二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握二项式系数的性质及其应用．(重点) 2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明．(难点) 3．掌握二项式定理的应用．(难点) 1．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养. 2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养. 我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数． (a＋b)0 1 (a＋b)1 1　1 (a＋b)2 1　2　1 (a＋b)3 1　3　3　1 (a＋b)4 1　4　6　4　1 (a＋b)5 1　5　10　10　5　1 问题：观察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？ 1．二项式系数的性质 (1)C＝2n； ＋…＋C＋C＋C (2)C＋…＝2n－1. ＋C＋C＋…＝C＋C＋C 2．杨辉三角具有的性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． (3)利用二项式系数的对称性可知，二项式系数C，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． ，C，…，C，C，C 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． (　　) (2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的． (　　) (3)二项展开式的二项式系数和为C. (　　) ＋…＋C＋C [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1　　　　 B．－1 C．215　 D．315 B　[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.] 3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　) A．第8项　 B．第7项 C．第9项　 D．第10项 C　[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．] 4．(教材P32尝试与发现改编)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________． 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 6　[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.] 求展开式的系数和 【例1】　设(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021·x2 021(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|的值． [思路点拨]　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解]　(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 021＝32 021.② ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a2 021)＝－1－32 021， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝. (3)∵Tr＋1＝C·(2x)r，(－2x)r＝(－1)r·C ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 021| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021. 1．解决二项式系数和问题思维流程 2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． 1．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6. [解]　(1)令x＝0，则a0＝－1； 令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，① 所以a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256. (3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128. 二项式系数的性质及应用 【例2】　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [思路点拨]　求二项