3.3.1 二项式定理-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

3.2　数学探究活动：生日悖论的解释与模拟(略) 3.3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及二项展开式的通项公式．(重点) 3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点) 1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养. 2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养. 三个箱子均装着标有a，b字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子摸出一个球，共摸出3个球，有哪些可能结果？每一种结果有多少种情形？ 问题：类比上述结果你能联想出(a＋b)3展开式的形式吗？ 二项式定理及相关的概念 二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝Cbn(n∈N＋)称为二项式定理an－rbr＋…＋Can－2b2＋…＋Can－1b＋Can＋C 二项式系数 各项系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数 二项式通项 Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)an－rbr是展开式中的第r＋1项，可记做Tr＋1＝C 二项展开式 Cbn(n∈N＋)an－rbr＋…＋Can－2b2＋…＋Can－1b＋Can＋C 思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？ [提示]　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念． 二项式系数是指C，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．，…，C，C 思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式的第k＋1项是否相同？ [提示]　不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.an－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为C 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) (3)Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(x＋1)n的展开式共11项，则n等于(　　) A．9　　　 B．10　　　 C．11 D．12 B　[由n＋1＝11，可知n＝10.] 3．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数是(　　) A．C(－2)5 B．C C．C(－2)6 D．C C　[由题意可知第6项的二项式系数为C.] 4．(x＋2)6的展开式中x3的系数是________． 160　[法一：设含x3的项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cx6－r2r，令6－r＝3，则r＝3. 故x3的系数为C·23＝160. 法二：(x＋2)6表示6个括号相乘，要得到含x3的项，只需选出3个括号出x，另三个括号出2即可，即C·x3·23＝160x3.] 二项式定理的正用、逆用 【例1】　(1)用二项式定理展开； (2)化简：C. (x＋1)n－r＋…＋(－1)nC(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－C [思路点拨]　(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解． [解]　(1)＋…＋C(2x)4·(2x)5＋C＝C ＝32x5－120x2＋.－＋－ (2)原式＝C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n＋C 1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件． 2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． 3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数． 1．(1)求的展开式； (2)化简：1＋2C. ＋…＋2nC＋4C [解]　(1)法一：)3(3)4＋C(3＝C ·＋C)(3＋C)2·(3＋C ＝81x2＋108x＋54＋.＋ 法二：＝ ＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋.＋ (2)原式＝1＋2C＝(1＋2)n＝3n.＋…＋2nC＋22C 二项式系数与项的系数问题 【例2】　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)(教材P33习题3­3AT2改编)求的展开式中x3的系数． [思路点拨]　利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解． [解]　(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1 ＝C)6－r·(2 ＝(－1)rC)，