3.1.3 第2课时 组合数的性质及应用-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

第2课时　组合数的性质及应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点) 2.能解决无限制条件的组合问题．(难点) 通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养. 某国际会议中心有A、B、C、D和E共5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号． 问题：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？ 组合数的性质 (1)C； ＝ (2)C. ＝C＋C 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)C(m≥2且m∈N*)． (　　) ＝C＋C (2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有C种． (　　) C (3)把4本书分成3堆，每堆至少一本共有C种不同分法．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．若C，则x的值为(　　) ＝C A．2　　　 B．4　　　 C．0 D．2或4 D　[由C可知x＝2或x＝6－2＝4.故选D.]＝C 3．C的值为________． ＋C 84　[C＝84.]＝＝＝C＋C 4．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种． 96　[甲选修2门，有C＝6(种)不同方案． 乙选修3门，有C＝4(种)不同选修方案． 丙选修3门，有C＝4(种)不同选修方案． 由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．] 组合数的性质 【例1】　计算：(1)C； ·C＋C (2)C； ＋C＋C＋C＋C＋C (3)C(n＞0，n∈N)． ·C [解]　(1)原式＝C＝56＋4 950＝5 006.＋×1＝＋C (2)原式＝2(C＝32.)＝2×＋C)＝2(C＋C＋C (3)原式＝C＝(n＋1)n＝n2＋n.·C 性质“C”的意义及作用＝C 1．(1)化简：C＝________； ＋C－C (2)已知C，求n的值． ＝C－C (1)0　[原式＝(C＝0.]－C＝C)－C＋C (2)[解]　根据题意，C，＝C－C 变形可得C，＋C＝C 由组合数的性质，可得 C，故8＋7＝n＋1，＝C 解得n＝14. 有限制条件的组合问题 【例2】　高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ [思路点拨]　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决． [解]　(1)从余下的34名学生中选取2名， 有C＝561(种)． ∴不同的选法有561种． (2)从34名可选学生中选取3名，有C种． 或者C＝5 984种．＝C－C ∴不同的选法有5 984种． (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C＝2 100种．C ∴不同的选法有2 100种． (4)选取2名女生有C＝2 100＋455＝2 555种．＋CC种，共有选取方法N＝C种，选取3名女生有CC ∴不同的选法有2 555种． (5)选取3名的总数有C＝6 545－455＝6 090种．－C，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝C ∴不同的选法有6 090种． 常见的限制条件及解题方法 1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据． 2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解． 3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解． 2．“抗击疫情，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴抗击疫情前线，其中这10名医疗专家中有4名是内科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是内科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名内科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名内科专家的抽调方法有多少种？ [解]　(1)分步：首先从4名内科专家中任选2名，有C＝90(种)抽调方法．·C种选法，所以共有C种选法，再从除内科专家的6人中选取4人，有C (2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法． 法一：按选取的内科专家的人数分类： ①选2名内科专家，共有C种选法；·C ②选3名内科专家，共有C种选法；·C ③选4名内科专家，共有C种选法．·C 根据分类加法计数原理，共有C＝185(种)抽调方法．·C＋C·C＋C·