3.1.3 第1课时 组合与组合数-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

3.1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解组合与组合数的概念．(重点) 2．会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点) 3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点) 1．通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养． 2．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养. 高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，如果考生任选3科作为自己的考试科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况？ 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有几种？ 1．组合的概念 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． [拓展]　组合概念的两个要点 (1)取出的对象是不同的； (2)“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质． 2．组合数的概念、公式 定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数 表示 C(n，m∈N且m≤n) 组合数公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同． (　　) (2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C． (　　) (3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题． (　　) (4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若C＝28，则n＝(　　) A．9　　　 B．8　　　 C．7 D．6 B　[C＝28，即n＝8.]＝ 3．(一题两空)C＝________. ＝________，C 153　18　[C＝153，＝ C＝18.]＝ 4．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________． 6　[从四个数中任取两个数的取法为C＝6.] 组合的概念 【例1】　判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ [思路点拨]　要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关． [解]　(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别． (2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别． (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别． 1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合． 2．区分有无顺序的方法 把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 1．(教材P22练习AT2改编)从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合． [解]　要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示： 由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. 组合数公式的应用 【例2】　(1)式子可表示为(　　) A．A　　　 B．C C．101C D．101C (2)求值：C. ＋C [思路点拨]　根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明． (1)D　[分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n， 故 ＝101· ＝101C.] (2)[解]　由组合数定义知： 所以4≤n≤5，又因为n∈N， 所以n＝4或5. 当n＝4时，C＝5；＋C＝C＋C 当n＝5时，C＝16.＋C＝C＋C 关于组合数计算公式的选取 1．涉及具体数字的可以直接用公式C＝ 计算．＝ 2．涉及字母的可以用阶乘式C计算．＝ 2．(1)计算：C； ·A－C (2)求证：C. C＝ [解]　(1)C－7×6×5＝210－210＝0.＝·A－C (2)右边＝＝左边．即等式成立．＝C＝·＝C 简单的组合问题 [探究问题] 解答简单组合问题