3.1.2 第1课时 排列与排列数-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点) 2．会用排列数公式进行求值和证明．(难点) 1．通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养． 2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养. 教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课后与老师们座谈，有12位教师参加，面对市委领导坐成一排． 问题：这12位老师的坐法共有多少种？ 1．排列的概念 (1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． (2)特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 思考：两个排列相同的条件是什么？ [提示]　两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同． 2．排列数及排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数的表示 A(n，m∈N，m≤n) 排列 数公式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 A＝ 阶乘 A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1，A＝1 性质 A＝A＋mA 拓展：排列与排列数的区别 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a，b，c与b，a，c是同一个排列． (　　) (2)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列． (　　) (3)同一个排列中，同一个元素不能重复出现． (　　) (4)在同一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．A　　　　 B．A C．A D．A C　[A＝100×99×98×…×(100－12＋1)＝100×99×98×…×89.] 3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有(　　) A．3种　　　 B．4种 C．6种　　　 D．12种 C　[由排列的定义可知，共有A＝3×2×1＝6种排列方法．] 4．(教材P14A组T2改编)＝________. .]＝＝　[ 排列的概念 【例1】　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信． [思路点拨]　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． [解]　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中，(2)(5)(6)属于排列问题． 1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”． 2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． 1．判断下列问题是否是排列问题． (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ [解]　(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题． 排列的列举问题 【例2】　(教材P10例1改编)写出下列问题的所有排列