3.1.1 第1课时 基本计数原理-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第1课时　基本计数原理 学 习 目 标 核 心 素 养 1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点) 2．正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点) 3．能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点) 1．通过两个计数原理的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养. 十三届全国人大三次会议在京召开，某政协委员5月19日从泉城济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车组．假如这天适合他乘坐的飞机有3个航班，动车组有4个班次． 问题1：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？ 问题2：如果该委员需要在5月19日先从家乡乘坐汽车到达济南市，再乘坐飞机前往北京参加会议，其中汽车有4班，飞机有3个航班，问：此委员想从家乡到达北京共有多少种途径？ 1．分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法 且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 思考：在分步乘法计数原理中，第1步采用的方法与第2步采用的方法之间有影响吗？ [提示]　无论第1步采用哪种方法，都不影响第2步方法的选取． 拓展：两个计数原理的区别与联系： 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果(最后一步除外)，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各步都完成了，才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 这两个原理都是用来计算做一件事情的不同方法数 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． (　　) (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4) × 2．(教材P4尝试与发现改编)从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　) A．1＋1＋1＝3　 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对 B　[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．] 3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－1，－2,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　) A．1 B．3 C．6　 D．9 D　[这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－1，－2,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．] 4．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法________种． 16　[由分步乘法计数原理得4×4＝16.] 分类加法计数原理的应用 【例1】　(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？ (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ [解]　(1)分四类： 从一班中选一人，有4种选法； 从二班中选一人，有5种选法； 从三班中选一人，有6种选法； 从四班中选一人，有7种选法． 共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22(种)． (2)法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每