4.3.2 独立性检验-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.3.2　独立性检验 学 习 目 标 核 心 素 养 1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．(重点) 2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．(难点) 1．通过2×2列联表统计意义的学习，体会数学抽象的素养． 2．借助χ2计算公式进行独立性检验，培养数学运算和数据分析的素养. 一则“双黄连口服液可抑制新冠病毒”消息热传后，引起部分市民抢购．人民日报官微称，抑制不等于预防和治疗，勿自行服用．上海专家称是否有效还在研究中． 问题：如何判断其有效？如何收集数据？收集哪些数据？ 1．2×2列联表 (1)定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式． A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表． (2)χ2计算公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 2．独立性检验 任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05,0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ2＜k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量． (　　) (2)事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响． (　　) (3)应用独立性检验对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”(　　) A．χ2＝2.700　　 B．χ2＝2.710 C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014 D　[∵5.014>3.841，故D正确．] 3．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过__________的前提下认为两个变量之间有关系． 5%　[查阅χ2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系，故在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为两个变量之间有关系．] 4．(一题两空)下面是2×2列联表． y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合计 b 46 100 则表中a＝________，b＝________. 52　54　[a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54.] 由χ2进行独立性检验 【例1】　在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用. 未感冒 感冒 合计 使用血清 258 242 500 未使用血清 216 284 500 合计 474 526 1 000 [思路点拨]　独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判断． [解]　假设感冒与是否使用该种血清没有关系． 由列联表中的数据，求得 χ2＝≈7.075. χ2＝7.075＞6.635，P(χ2≥6.635)＝0.01， 故我们在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用． 独立性检验的具体做法 1．根据实际问题的需要确定允许推断“事件A与B有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k. 2．利用公式χ2＝计算随机变量χ2. 3．如果χ2≥k推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”． 1．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下： 患胃病 未患胃病 合计 生活不规律 60 260 320 生活有规律 20 200 220 合计 80 460 540 根据以上数据，能否有99%的把握判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关？ [解]　由公式得χ2＝≈9.638. ∵9.638>6.635， ∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病． 独立性检验的综合应用 [探究问题] 1．利用χ2进行独立性检验，估计值的准确度与样本容量有关吗？ [提示]　利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很